Il ERMITE A STIELTJES

Paris, 19 octobre 1888.

Mon cheii ami,

Je viens vous remercier de votre Mémoire sur la transformation linéaire de — ; j'aurais le plus grand intérêt à le rapprocher d'un

travail que j'ai fait l'année dernière pendant les vacances sur la réduction de la même quantité à la forme canonique, mais d'autres choses plus pressées m'en empêchent et j'attendrai d'avoir un peu plus de liberté pour bien étudier votre analyse et vos résultats. Recevez surtout mes remerciements pour les calculs numériques que vous voulez bien mettre à ma disposition et qui me sont singulièrement utiles pour justifier ma formule asymptotique de c„,, n'ayant pas réussi à ma honte, à mon grand dommage, dans mes tentatives pour conclure, de la méthode de Laplace, une limite de l'approximation obtenue. Je ne puis cependant m'empêcher de croire qu'il y ait moyen d'y parvenir; voici un cas, par exemple, extrêmement simple et facile qui, bien certainement, ne doil pas être unique. Considérez l'intégrale

/ (H- ^)" + l " »..4.. .'ïn ~i.

et faites

\ous aurez

dt

— = x(ex — 1 )

et, par conséquent, cette transformée

J = / e-"l'-x(ev"-—\ 1 ïdx.

>Go CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJKS.

Il suffît maintenant de remarquer que L'on a

ex = i -f- Te"-1, puis

exi = i - ' :-

où 0 est compris entre zéro el I unité, ce qui permet 'I écrire

dx.

\w\ deux limites 0 — o et 0 = i . nous avons donc

L'intégrale proposée est évidemment comprise entre ces deus quantités et l'on peut écrire

i.3.5. . .in — i i