a où j ai posé

$(n)= f\n-ie-ld\= \- — + j^— - +...L/".

JL L n n-hi 1 . 2 ( n -+- 2 )

J'ai eu le torl de n'avoir point vu et de n'avoir pas dit que cette relation a lieu pour a = i; voici ce qui m'a arrêté bien inutilement. Ayanl fait

/ ir-\,,-i.(r. = y / ^x-ie-\d\ (n = i,2. :*,...!,

[tins

en posant dans le second membre £ = /m + Ç, j'ai eu crainte que, dans le cas de a = i, pour le premier terme correspondant

à n = i, où entre l'intégrale

il n'ait pas été permis d'employer, sous le signe d'intégration, le développement de la puissance (i-|-Ç)x-1, parce que développement, à la limite Ç = i, est divergent quand x — 1 est négatif. Mais ma crainte n'avait pas de fondement, car le développement en question conduit à la valeur suivante :

f ,, + rri, -:,/: = P(T) + ^^P(2)+ (a?~l)(a?~a)P(3)+...,

Or le second membre est une série toujours convergente; remplacez, en efiet, P(/i) par la quantité plus grande — et envisagez la

nouvelle série, dont le terme général èsl

Un = ' - f

vous aurez

"n (ft + l)2

et la règle de Gauss montre immédiatement la convergence de la série £//„ .

11 csl donc parfaitement permis de supposer a = i; mais, l'expression ainsi obtenue

QO) = P, R(.r — i)-h^-^P2 R(a7 — 2)-i...

ne m'apprend rien sur la différence Q(#) — R(a? — 1).

Vous seul, cher ami, par la puissance «lu calcul numérique, vous avez eu l'intuition du mode d'existence de celle quantité; également, je vous fais mon compliment d'avoir rattaché la question à la comparaison cuire l'intégrale

/'( II ) du

et la somme

mais que d'efforts à faire avanl d'atteindre ce but. Mes sentiments affectueux et bien dévoués.

M. Bourguct, professeur à l'Institut catholique, demeure rue de Rome, 55.