HERMITE A STIELTJES

Fouras (Charente-Inférieure), - aoùl i^s'>.

Je serai absent de Paris el en voyage pendant La durée des vacances, c'est-à-dire jusque dans le courant du mois d'octobre, de sorte qu'il ne me sera point possible de présenter à I" académie, avant cette époque, le travail extrêmement remarquable que vous m'avez fait l'honneur de m adresser. Les propriétés que vous avez découvertes des polyi les Pn(x) el Qn(^) m'ont vivement intéressé, el les conséquences que vous en avez déduites, sur les quantités '/. el x, ajoutenl des résultats htni nouveaux à la belle théorie de développement en fraction continue de I intégrale

Je vous félicite, Monsieur, bien vivement du succès de vos efforts, et je me promets de mettre votre beau travail à profit 1 année prochaine pour mes leçons de la Sorbonne. Il me rappelle une remarque que j 'ai faite autrefois el que je prends la liberté de vous communiquer, en \ joignant une question à laquelle vous serez, mieux que moi, en mesure de répondre. Soit

\)'[.\(x — a)"+*(x — b >■' ■ > | =0 — «.)a(.r — b'ft ï\(x),

de sorte que Q (x) soit un pol \ nome en lier de degré n . et supposons que at — | — p soil un nombre entier /, . On pourra écrire, en désignant par<o(#)la partie entière.

l x a )ii *-« (> 6)«-i-p = o(x) -+---+- — -+-... ' X a?2

puis

D'il I x — a )«-» « (x — b) " -'> I --- '!> , ./■ i -

•* IA / J \ / X,l~*~ ' X" '

où 'I'i ./■) est un polynôme de degré n -f- /. '. Nous avons donc ainsi : a | /. i x — l> ■'> II | X i = * l X I H —, -i — - -+-...

de sorte que la fraction est la /«"'"'c réduite du développement

LETTRE IV. l5

en fraction continue de La quantité (x — a)a(x — b)$. Cela étant, je demande si, en supposant a el l> réels, l'équation Il(.r) -<> ;i

ses racines réelles. Pour a = , 3= > on se trouve dans le

cas de vos théorèmes, mais pour d'autres valeurs, en supposanl par exemple A' = — i, le polynôme II ( ./■ ) aurait-il encore Les propriétés de la dérivée du dénominateur <!>(./•)?

Permettez-moi, puisque \<ms ries un ami de l'Arithmétique, de

\oiis duc un mol dune reclierelie qm m OCCUpe en ce moment.

En supposant n = 5 mod 8, et désignant pai- /'(/<) le nombre des décompositions de n en cinq carrés impairs dont les racines sont positives, j'obtiens la relation suivante où E(.r) désigne l'entier contenu dans x :

/(5)+/(ii) + ...+/(ft)=2«El — -J,

le signe ^ «'appliquant à tous les entiers impairs a et a', tels qu'on ail n^> \acé '. Soit ensuite E|(.r) une nouvelle fonction égale à zéro ou à l'unité,

H, (./•)= E ( x h — ) — E(.r) ou bien E(2a?) — 2E(a?).

En désignant par F(/*) le nombre total des décompositions de /i en cinq cariés, on a

i.',u+F(.,)+...-f-F(«)=^'V«)+82[al'(î;) + '2cEl(^)]

-+- iG \ [c? E(/« — ««') — a( — iKcE(\//i — /j cc')J.

Dans celle formule a et a! sont tous les entiers impairs, c, c' les entiers quelconques tels que n > aa', n > 4CC'-

Les formules analogues pour trois carrés sont plus simples; j'ai vérifié le premier théorème pour/i = 2i, mais je me trompe si facilement dans les calculs numériques qu'à mon grand regret je ne me suis pas risqué à aller plus loin.

En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations et mes remerciments pour votre Communication, veuillez recevoir l'assurance de mon meilleur souvenir et de mes sentiments tout dévoués.

l6 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.