STIELTJES A HERMITE

Leyde, 9 août i883.

MONSI] 1 R .

Je n'ai pu résister au plaisir de vérifier les belles formules arithmétiques que vous avez bien voulu me communiquer el qui me semblaienl d'autant plus mystérieuses, parce qu'il n"\ entre point [e nombre des résidus quadratiques au-dessus d'une certaine 11mite, mais je dois vous avouer qu'en ce moment je suis à peu près étranger à cette belle el profonde matière. Pour le calcul numérique j'ai mis votre formule

/(5) /(i3) ... /(«)=2aE sous la forme

yn \aa

/1 >) h/(i3) ... f(n =^às,(p)li\ v

r(p 1 = somme des diviseurs de />.

< . e^i ain^i que j'ai poussé les calculs jusqu'à 11 = 101 .

J'ai encore calculé le second membre de votre formule pour /i = i.~>j, 1 65 ; la différence des nombres obtenus, 1698 et 1918, - ",. es1 bien égale kf [65 |. En effet on a

|65 = Si + 4g + •»"> — g — 1 (l20)(1) \

= 81 -4-8l -+- I — I -4- I I lui /

= Ni >\ >', . - 25 -t- g ( 20) 220

i1.) i'.i — il)-- 9 + 9 "" \

1') Celle colonne indique le nombre des décompositions en cinq carrés ne différant que par l'ordre îles carrés de ceux écrits sur la même ligne.

llWx). e(Z±±)- g(p). zg{p).

Somme. .

G Somme. . .

Somme. . .

Somme. .

Somme .

i4 Somme . . .

( ' ) Nous reproduisons les Tableaux tels que les a formés Stieltjes pour le calcul du second membre de la formule à vérifier. Les valeurs des premiers membres sont données ensuite.

l8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.