ER MITE A STIELTJES

Paris, iN novembre isss.

Mon i iii i; LMI,

Je m'en ai pas encore fini avec les examens du baccalauréat, j'ai demain une dernière séance à La Faculté des lettres, el puis à cette besogne va succéder une autre d'une autre nature, il faut m'occuper de la rédaction d'un rapport dont je suis chargé, de sorte que je ne sais quand je pourrai pour mon compte étudier le Mémoire de M. Lipschitz qui me semble fort beau. Je ne puis assez vous dire quel plaisir m'a fait votre équation que je préfère écrire de

cette manière

COS arc 1,11m , — 1- -r

H.ri b

tosfarctang g -4*5)

(62-+- i6tt2)2

\ «mis me permettrez pour le cas où vous auriez à l'employer de nous indiquer comment la décomposition de l'intégrale

J ^ / :' -ie \d\, en in nies de la forme

n — 1 ) b a-t-nb

de sorte qu'on ait

conduit à la notion de la fonction

J'observej à cet effet, qu'en posant £ = a + /?& + /. on a

LETTRE l.'i'i.

el que, pour toutes 1rs valeurs <!<• //, à partir de n = i , le développement suivant les puissances de /, par la for le du binôme,

de (" \- nb \ t)x~l, donne une s < '• i • i < ■ convergente entre les limites l = o, t = b. Il en seraïl encore de même pour // <>. sous la condition a l>\ mais il est préférable d'exclure l'intégrale J0, en considérant l'a différence J„ .!„ qui est l'intégrale

Comme \ mis allez, voir.

Soit

nous avons

P0(« -H nb)*-1 + ' Pr| a - //A i'

de sorte qu en posant

rua?) = > ; — pour n = i,. 2, >. .

on obtient immédiatement

= P0Ria7)-H ^=ip, R(#-i;-+- (-r~')';r ~2)PaR(a- -■>,)-)-....

Changeons maintenant a en a — 6, afin de parvenir à I intégrale proposée J; ce changement reviendra évidemment à prendre à partir de n = o, au lieu de n = i, le terme général de R(#), de sorte qu'en modifiant ainsi la définition de R(.r), on a la formule

J = P0R(a7)-t- Pi - -R(ar — i)-h

Il n'y a donc pas à s'embarrasser des questions de convergence et tout devient fort simple grâce à vous, à l'idée qui vous appartient d'une décomposition de l'intégrale plus générale (pie la mienne; mais n'est-ce point singulier qu'on parvienne par une telle voie à l'extension de la fonction Ç(s) de Riemann!

290 CORRESPONDANCE D RERHITK Kl DE STIELTJES.

En \mis priant de me donner à I occasion quelques explications sur votre procédé pour parvenir à la relation <|ui m'intéresse beaucoup r(/i -+- a) = [/i -f- (a — i)0]flr(/n ci vous demandant d'attendre que j aie | >l 11 s de liberté (tour revenir à L'application aux

séries 8| -) et 0t ( )> de la méthode <lc Laplace. je vous

renouvelle, mon cher ami. l'assurance tic nia bien sincère affection.