STIELTJES A HERMITE

Toulouse, dimanche matin ( ) > 23 novembre i8s8? ).

( .m 1; Monsieur,

Je -uis on ne peut plus touché de l'extrême bonté que vous montre/ à mon égard. Mais M. Lipschitz étant le premier inventeur, je \cu\ voir il abord le travail qu il \a fane Insérer dans le Journal 'h- M. Kronecker ; s'il n'y parle pas de l'application à votre fonction R(#), je pourrais peut-être plus tard donner une Note où j'appellerai l'attention sur cette application.

En faisant dans la relation

(1) li a -r- n ) = | /; — (a — 1 )6]a r(« ). o<0<i.

a = - el remplaçant n par n + 1

Je vois que ce n'est pas votre formule mais prenons a = - et

remplaçons // par n -\ — > il \ient

z 1 . 3 . . . C "in — 1 1 /-

ce qui est bien votre résultat qui est ainsi compris dans la formule 1 .

Vote de l'éditeur, — Celte lettre non datée ne paraît pouvoir se rapporter à une date autre que le • '> novembre 1S88.

lui posant I -f- X = e" dans la formule

on peul écrire sous deux formes différentes

T(a 1 r< n » f"° fer— 1 .*-> . . ,. ,

Ayant

.. . . , , r(// » ii n 1

on \oit, (I après la seconde tonne, que „, ' est compris entre

les deux limites

J' ya-lg-Ui+a-Dy dy = — ("

ce qui donne la formule ( 1).

Mais voici une autre conséquence. D'après ce qui précède on a ces deux formules

iAç1^tf«-c«-t-i;== r'/er-^y ■ nyd

r(a) r< » — « -t-i) C* (ey~ !\a 1

Développons

= 1 -+- Cj7 -f- C2K- -+- c3t^3 -+- .

on aura en même temps

= I — C^-r-CoJ C3J3-h.

,,. CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE ST1ELTJES.

et, à l'aide de ces séries, on obtient

Y n <i il a a(a i a (a -4-1) (a -1-2) 1

(A) - = — 1 cp — c> — c3 - ... I ,

il a a a 1 1 a (a i)(«-4-2)

M Ci — — c, — c3-- ... ,

r,. c2, ••• son! évidemment des polynômes en a.

Lorsque a esl un entier négatif « = — ///. il esl clair que la série 5 esl finie el ainsi la formule est valable quelque soit n . Ki. ilu reste, la relation

/ Pi P

permet de calculer la série indéfinie des polynômes l* de m ou

de a. Lorsque a esl un entier positif a ==-+- m, la formule (5) se

réduil à

un -4- 1 ) . . . ( n -+- m — \) n "• \ n n -

et la série est convergente tant que mou1// > ni — 1 .

Mais pour toute autre valeur de a la série (5) est divergente quel que m>ii le module «le //. Cela est évident ici, car la série

1 ^c,/ + cor2+ c3/:i — . .

n'est convergente que pour modjy < 2it; or. on a multiplié les coefficients C par ces {'acteurs

Les amicus analystes, après avoir établi la formule (5) pour

ont quelquefois pris le second membre, dans le cas que ni n'est plus entier, comme définition d'une généralisation de la factorielle

sans faire attention à la divergence de la série, ce qui explique les résultats erronés auxquels ils ont été conduits quelquefois. M. Weierstrass a fait voir d'une autre manière que la série (5)

.ETTRE 153.

csi ion jours divergente i ibhandlungen ans der Functionenlehre, p. 2 \ \-i \\).

11 fait voir d'abord que si la série était convergente elle devrail

représenter nécessairement La fonction pour huiles les

valeurs de n dont le module surpasse une certaine limite. Mais cela est évidemmenl impossible, car en posanl

n = Re'î (ceci n'est pas le raisonnement de M. Weierstrass),

et faisant croître co de o à 2~, le premier membre revient à sa valeur primitive, tandis que le second membre e>i multiplié par e~ia-'K. Du reste aussi, en posant n= — m, m entier positif suffisamment grand, on rencontre des contradictions.

"Niais quoique ces formules (4) et 1 5 | soient divergentes, ce sont cependant les séries asymptotiques des premiers membres, et elles peuvent servir aussi au calcul numérique lorsque n est grand et positif.

J'ai vainement cherché (il y a quelques années) à établir une théorie satisfaisante de ces séries divergentes. Voici encore une remarque à leur égard. Je remplace 11 par — n dans le premier membre de (5)

rr

sin -( /; — a) T( n

donc, d'après (4)