SIM 7T
On peut donc changer dans la formule (5) n en — n à condition de remplacer ( — n)a par n" x -. — : — • On trouve un
1 ' l sin 7t( 11 — a )
résultat analogue lorsqu'on change n en — n dans la formule (4)- Existe-t-il une formule plus générale qui embrasse les formules (5) et (5') en même temps? Question qui parait extrêmement difficile. J'incline à croire que, pour pénétrer un peu dans ces mystères, il faudra revenir d'abord à l'étude de la série de
m,, CORRESPONDANCE D'HERMITK ET DE STIELT.IES.
Stirling.
|ogr(a) (a - ] loga — a - log/îit -4- *^a), B, Ba
M. Lipschitz a considéré le cas a imaginaire, mais partie réelle de a -o; dans ma thèse j'ai trouvé qu'aussi lorsque a est purement imaginaire la formule reste applicable, mais j'ai observé depuis longtemps que même lorsque La partie réelle de a est négative la formule peul donner une grande approximation.
Supposons une coupure de o à — x. la fonction LogT(«) esl
uniforme alors fi j'espère qu'un jour on fera une théorie de la série de Stirling qui montre qu'on peut remployer dans tout le plan, seulement lorsque a s'approche de la coupure, le terme complémentaire doit changer brusquement- La grande difficulté ici, c'est de trouver une expression de
ou d(
[ r~ ei-t adt
" 1 Tr- -,.)„-, -»»ï
qui donne la continuation de cette fonction à gauche de l'axe des y. \ uns avez remarqué depuis longtemps dans le Journal de Crelle (- ) la ligne de discontinuité de ces intégrales, qui est cause que, quoique ces intégrales aient un sens pour partie réelle a << o, on n'obtient pas ainsi la continuation (qu'on sait possible) de la fonction.
Je ne suis pas sans espoir d'obtenir cette continuation à gauche de I axe desy, mais même après ce premier succès il restera à voir si l'expression obtenue se prête à la discussion de la série de Stirling. Mais voilà la lin des vacances, mes cours vont re c< nencer mardi et demain j'ai encore les bacheliers es lettres.
(') Note des éditeurs. T. '.i;'. p. in: 1882.
Veuillez toujours me croire, mon cher Monsieur, votre affectueusement dévoué.
P. S. — On pourrait faire usage «le la formule (4) pour discuter la variation de „ — > x varianl entre n et — n-\- i , // entier
positif. Soit x = — n -+- a
i i — i )« simra .
I ^î-hi- a i,
sin-Tia x a a\ i -\ Ci -t-,
En première approximation, on aura à discuter
n~a siriTra, a variant de o à i. Annulant La dérivée, il vient
7rcot7m = Log/i ou — = Logra.
C'est précisément le résultat auquel vous êtes arrivé dans votre lettre à M. Schwarz. (C relie, t. 90, p. 337.) Mais votre méthode me semble plus élégante et rigoureuse.
Il me semble curieux qu'on peut passer de la définition
(a) r(a) = / ««-' e~u du,
supposant partie réelle a >• o, à une autre définition valable dans tout le plan ainsi qu'il suit. Soit n un nombre positif qui croît indéfiniment, on a
V( a) = lira / ««-' e~u du, «- 0 ou bien développant en série
,„. „, ,. li e" e'1:l e3n
p r(a) = lime"« — - L^+-
L« « -t- 1 i.vi.(a-f-a) i.2.J.(a-+-3) !« = «>
mais ((3) donne maintenant la définition de T(a) dans tout le plan. En effet, en adoptant ( [3) comme définition, il vient à l'aide de
a V(a) = lime^na-en)-+- \imenia+l>
« + l fl + 2 l.'i.(« + 3)
2q6 CORRESI'ONDANCI D URRH1TE ET DE STIELTJES.
c'est-à-dire
Cette transformation montre que la définition (j3 donne une valeur finie pour r(a), >i c'est le cas pour If a - m, mais tant que partie réelle <•/.<». il esl clair que -/ el ((3 sonl équivalentes. . .. Mais je crois que cette remarque peul «'ire à peine considérée comme nouvelle.
Votre méthode directe pour déterminer le rang du terme
maximum
(a -f- nb F
esl certainemenl préférable. Il esl probable < | ne Ton a imaginé la méthode moins directe d'égaler deux termes consécutifs, pour traiter certains cas où la méthode directe s'appliquerail difficilement. Mais ce o est pas une raison pour faire usage «le celle manière détournée dans les cas où la méthode directe s'applique sans difficulté. Siiriout dans le cas aciuel où le résultai e>i >i simple.
