STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 26 novembre 1S88.

( aui; Mojvsiei 1: .

Quoique très occupé, je veux répondre immédiatement à votre lettre, mais je dois d'avance implorer votre indulgence si sur certains points je ne peux pas mettre les points sur le* i.

En premier lieu, vous me ferez le plus grand plaisir en me communiquant le travail de M. Bourguel et je ne manquerai pas après l'avoir \ 11 d'adresser mes remercîments à I auteur. Je suis

LETTRE 155. !9g

curieux de savoir si les formules nouvelles se prêtent à la discussion «le la série de Stirling; c'est, coin me vous le savez, le bul que j'avais en vue.

Vous diies (|ue M. Bourguel n'est pas géomètre de profession, mais je crois qu'aucun géomètre de profession ne serait fâché d'à voie l'ait ce qu'il a fait, par exemple la belle démonstration d'une Ion nu le de M. Weierstrass qu'il do il avoir donné dans son examen de doctorat et que vous avez fait connaître dans voire lettre à M. Mittag-Leffler (Crel/e, t. 91, p. 61).

Maintenant, Monsieur, j'ai encore à nous faire mes excuses ; je crois bien qu'après avoir posé

ax ( a -h b V R(x) = — H j^- -+-

j'ai écrit

/ ■>. Il T. J.llll ~

, ^ *> cos ( arc tang — ; ; — ) >

Hl.r- i ) V1 \ à b I

au lieu de

•xn~ i an n

, •*> cos ( x arc tan<

4 n~2rJ

0 < <t - b, Partie réelle x > i .

C'est cette erreur qui vous a causé tant d'ennuis; en reprenant avec la formule exacte vos calculs il vient

C* cos(.r arc tang? — a £ ) .„ ax 1 e~"

(') / — dt = *-T(xT'

K(a; — i) étant égal à ax~K c~a pour b = -+- oo.

La formule (I) qu'on obtient ainsi me semble très remarquable et j'ai éprouvé un vif plaisir, en la trouvant ainsi d'après vos indications; moi-même je n'avais pas songé à cela. D'après la déduction il semble qu'on doit supposer