STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, le 3 décembre 1 888 (lundi soir).

< .m r Monsieur,

C'esl seulement en ce momenl <pi<' me parvienl votre lettre qui ,i dépassé IToulouse el revient ici par Cette el Carcassonne.

Il me semble bien curieux que votre méthode >i naturelle pour obtenir l'expression de Q(«) à l'aide de A {a) conduit au même

LETTRE 158. iog

résultat que L'artifice de M. Lerch qui consiste à introduire le fa<

gu aM-lJ t

teur eu(x+\) , f'alls L'expression transformée de <v>.

Voici maintenant an résultat sur La série de Stirling donl j'avais

déjà un pressentiment ce malin. La formule

(«) f*(*)=-r~/ 9(a7)^'(i-t- - -)dx,

it*aJ0 ■ir.aj

o(x) = / . du,

étant vraie lorsque a est réel el positif, je remarque que L'intégrale a un sens, quelle que soit la valeur de a (on doit exclure seulement la coupure de o à — ce). En effet, x étant très grand, on a à

peu près cp (x) = — et, comme on a -j/( m -f- i) = <|/(w) — -r> il

suffira de montrer que

/ a? y \-.iita/

a un sens pour to = -f- oo.

Or, x variant de o à -(-oo, l'argument décrit une droite el en

iita

posant

— — = Re'f, ■i - a

R croit de o à -+- x>, ce restant constant. D'ailleurs s est compris entre les limites ± tc. Or, il n'est pas difficile à montrer qu'on a alors

modd/(Re'"<P) < — , K

OR. étant une constante (qui dépend de <p seulement de telle façon que DM. croit au delà de toute limite lorsque o s'approche de rtic, mais ici cp est constant).

Par là, on voit que

I <L'( ) dr < const. /

Jo x \iizaj J0

il.r X- '

3io correspondance d'herhite et de stieltjes.

donc l'intégrale a un sens. Il ne semble pas douteux, d'après cela, que la formule -j. représente [x| a) dans tout le plan.

Voici maintenant comment on peut en déduire la série de Stirling. .!<■ remarque d'abord que

JC* e-xu /*" ue — du - -in./' / du

donne

cosa; -h -— î - ... — sinr ( — ; h...}.

Je pose maintenant

y1(x) = I cp (x) dx,

tp3 /■ i = / cp2| a?) t/a;,

J'obtiens ainsi une série de fonctions finies qui s'annulent pour x = x, et 1 on trouve facilement

•:,i.r)= cos.r — 5" cp (a^).

2 c?2(a?) = — sin.r — a? qpj( a?), 3o3(^) = — cosa; — x<o2(x).

l<pk(x)= sina- — x <p3(x .

', -,..r)= cos^ — a? 04(0; .

p)= — sina-l - — ' -+-...)-+- cosa;

cosa1 / i

./• 2 1.2.5.4 sina?

-in.r / 1.2.3 1.2... 5 \ cosa?

: r^3 { -¥- -tï-+---;- 7773

cosa; / 1.2. 3. 4 1.2... 6 \ sina;

cosa; /

la loi étant évidente. En effet, les dérivées de cp., (a?) et de cosa; — xo(x) sont identiques et ces fonctions s'annulent pour x = oc. On raisonne de la même manière pour cs2(x), co3(:c), ....