ST1ELTJES A HE B MITE

Toulouse, 1 1 décembre 1888.

ChEB MOASIEUR,

La manière dont M. Rronecker envisage le théorème fondamental de Cauchy

f fiz)dz = o,

Monatsberitchte, p. 688; 1880, p. ;85 ; i885) me semble bien intéressante. Pour lui. ci- théorème est un corollaire d'un autre

théorè qu'on peut énoncer ainsi qu'il suit :

Soit /(.r, y) une fonction de deux variables réelles. Suppo-on-, que/ /• i i soil continue et finie ainsi que ses dérivées du pre-

tnier el du second ordre dans un certain domaine I). Uors, si l'on sail que les dérn ées

dx dy

sont uniformes dans le domaine D, on peul en conclure que f(x, y)

JC

elle aussi est uni /orme dans le domaine D.

On dira qu'une fonction f(x, y) est uniforme dans le domaine D lorsqu'on a

df(ar, y) = o,

l'intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée dans ce domaine.

En effet, considérons une courbe fermée G; d'après les hypothèses, l'intégrale double

dx dy

dx dy ,

prise sur toute l'aire de C, a une valeur finie, qu'on peut calculer soit en intégrant d'abord par rapport à x, soit en intégrant d'abord par rapport à y.

Dans le premier cas, on obtient

dans le second

J J àxày J JlClày

JJ£id*d}'=-f{Sdx-

les intégrales simples étant prises sur le contour de C dans le sens

h'i correspondance d'hermite kt dk stieltjks.

direcl . < >u en déduit

f (*ldx+dldy)= f ,,f..r.

Le théorème de Cauch^ s'en déduit immédiatement. En effet,

<oil

f /( z } dz = / (P rfa; — Q rfj) -+- * /* (Q doc -+- P tfy i. ■ i «'(C) • c

Mais P dx — Qdy est une différentielle exacte et l'on peut écrire

/' {Pdx-Qdy)= fdf{x.y).

Mais maintenant le théorème précédent s'applique, car

df(x.y) = p rf/(.r,/) = q

sont, d'après les hypothèses, des fonctions uniformes et finies ainsi que leurs dérivées; donc f(x, y) l'est aussi et

/ (Pdx — Qdv)=/ df(x,y) = o\

de même, on aura

/ < Q dx -t- P <7> ) = / '/ - < ■'■• y I = o. • c J<C)

\ oici une déduction de la décomposition en fractions simples de (pic j'ai expliquée pour mes élèves, comme application des

théorèmes généraux de la théorie des fonctions. Je considère la série

^) = Sti ' ~>

A* (log.s h- inici)2

qui est évidemment convergente. On constate d'abord que/(;) est uniforme. Ensuite, il est facile à voir que si c- tend \ers zéro, il

en est de même de /"(.s). Et à cause def(z) =f( - ) on voit

LETTRE 159. 3l5

que z — -s) esl un zéro de I;i fonction. D'après cela, il e>t clair que f{z) ne |iciit devenir infinie que lorsqu'un des termes de la

strie de\ ient infini, ce qui suppose ; = i . Et l'on ;i

[ log( 1 -h h)]1 JU [log(i -f- A) + 2/iitip ' ( n = ± i , ± 2, . . )

quantité finie pour A = o.

Donc la l'onction /(z) admet comme pôle double le poinl c= i et n'en admet pas d'autres. Mais pour une fonction de celte nature le nombre des pôles doit égaler le nombre des zéros et ainsi les zéros z = o et z = oo sont des zéros simples. De toul ce qui précède on conclut

{z—if

mais on a encore X = i , à cause de/"(i + h) — -^ Ainsi, on a finalement

(z — l)2 ,AJ (log 3 -t- 2 /ITCl')2

ou bien

d'où par intégration

ou bien isolant le terme répondant à /i = o

ez — t ea — i a z —mi \ z -+- >. niz i a-\-imzi et pour a = o

■Et-4*— ■

3 1 6 CORRESPONDANCE D HERMITE ET l)E ST1KLTJES.

Je remarque qu'on pourrai i obtenir de la même façon la décomposition en fractions simples des fonctions elliptiques. Soit, par exemple, la formule (votre Cours, p. 229, 3e édition)

En posanl

n*)=fs-j=dz, , ,

J0 %\fz(i — z)(i — k*z) on a

z = sn2[F(^ 1],

et ainsi la formule ( 1) peut s'écrire

ou, en prenant la dérivée, il vient

- kl v^i''— -><■-***) = 2 [F(z)-Pty '

< h-, on pourrait établir cette formule directement en étudiant la série qui ligure au second membre.

En posant

tp ( z ) = > — ,

on constate directement que o (s) change désigne lorsque z décrit

un contour fermé enveloppant les points o, 1, t= • Mais o(z)2 est

une fonction uniforme. Il est facile encore à constater qu'elle

s'annule pour z = o. 1, -.— • Et ensuite on voit qu'elle n'admet

pas de pôle autre que le point z = cc. Lorsque z s'approche de z =cc, un terme et un seul de la série devient infini et il est donc facile à voir comment se comporte <d(z) ou 's(z)'2, dans le voisinage de ; = ce. On établit de cette façon la formule (2) d'où l'on déduira ensuite facilement (1).

Cette méthode suppose seulement qu'on ait étudié la nature de l'intégrale F( ' z) ou si l'on veut la fonction inverse sn2c. On doit avoir poussé cette étude assez loin pour connaître toutes les racines de l'équation

LETTRE 160. .',i-

En somme, cette méthode ne peul être considérée que comme une vérification, mais elle me semble instructive néanmoins. Vussi au fond je n'ai appliqué qu'une idée de Ricmaiin. l'uni obtenii l'inversion d'une intégrale elliptique, il étudie d'abord cette intégrale, ensuite il étudie les fonctions H. En substituanl alors l'intégrale dans la fonction 0 comme argument, il obtient une fonction qu'il reconnaît être une simple fonction algébrique. Vous savez qu'il a appliqué ce procédé synthétique à des problèmes bien plus généraux. Mais, en somme, la marche indiquée plus haul esl pai faitement analogue. La seule différence c'est que je considère une série double au lieu d'une fonction 0.

Votre bien sincèrement dévoué.