HE R MITE A STIELTJES

Paris, i3 décembre 1 888 .

Mon cher Ami,

Votre dernière lettre du n m'a ravi et enchanté; je partage entièrement votre sentiment sur les fonctions de deux variables, et sur la manière dont il convient de caractériser qu'elles sont

uniformes dans un domaine, par la condition / df(x, y ) — o.

«A c ) Mais vous excluez les variables, comment donc procéder alors?

Votre analyse concernant la fonction /"(:;)—> —. : — —

est délicieuse, exquise, et je ne manquerai pas de la donner à la Sorbonne. Elle me donne beaucoup à penser, et ce que je vais vous en dire se sera certainement déjà présenté à votre esprit.

Les déterminations de l'intégrale F(z) = / = >

Jo v/(i*«)(i-*«*«)

qui proviennent de tous les contours possibles d'intégration, sont

comprises dans les deux formules

— F +(4m+ .?. ) K -4- i niK',

de sorte que la fonction

~~ Z* ( F -+■ i m K -+- a ni K' )3 *•*

(F -+- |mK+ zniK' i:i jL* [— F -+-(4m -+- 2)K -h in i\\ ['•

3 1 8 CORRESPONDANCE d'hERMITE II DE SïIELTJES.

est certainement uniforme. Mais, en procédant de même avec L'in-

le de seconde espèce / , on peut sembla-

JB /(i- «»)(i-A»^) '

blemenl parvenir à une fonction uniforme; cela étant, à quoi tient-il que la première soil une quantité si simple, et que la seconde -"ii archi-transeendante. L'équation qui s'offre sous votre /. - z <lz

fo V/(,^)(l A-i-2)

solutii »ns, peut-être y aurait-il lieu de s en occuper avec soin. Mais vos idées me paraissent surtout intéressantes et importantes si on !«•- applique à l'intégrale abélienne de première classe

$z)dz

poinl de vue / = <> doit offrir une infinité de

où

li< z> = :■{ i — z)i i — kz){\ — lz)i i — [j.z i;

\dz

la fonction uniforme analogue à ï>(s) sera

*l> ■ ; | = 7[ F -r- 2m(i) -+- im'{k) -+- 27W"(X) -I- 2m'"((JL)]-P,

-+- 21 f— F — (2»l —DM )—'///'/- — ïot'i ) i + 2/nff'(fJL)] "P,

et, si Ton pouvait étudier l'équation F = o, il semble qu'on se trouverait sur la voie d'une nouvelle transcendante qui se rapprocherait autant que possible des fonctions elliptiques, comme ne contenant qu'une seule variable.

Mais j'ai d'autres devoirs pressants qui me détournent en ce moment du calcul; je compte m'y remettre après le jour de l'an, lorsque j aurai retrouvé ma liberté qui maintenant me fait absolument défaut, lu puis, les premiers froids m'ont enrhumé, grippé, ce qui ne constitue pas des condition- favorables pour le travail.

En vous renouvelant, mon cher \mi. l'expression du vif plaisir que j éprouve à recevoir communication de vos idées si intéressantes pour moi, el que je saisis au premier coup d'œil sans aucun effort, et avec l'assurance de mes sentiments de la plus sincère affecl ion.

LETTRK 161. 3 ig