HERMITE I STIELTJES

Paris, m décembre Mon cher Ami.

La formule de Gauss pour l'évaluation approchée des intégrales définies m'a conduil à une question dont je me permets de vous entretenir, dans l'espérance que peut-être elle vous suggérera quelques remarques dont je serais heureux de profiter, cette fois comme tant d'autres. Je considère deus fonctions que j<' suppose pouvoir être représentées par ces développements

F(a? ) = A0-+- Ai x -+- A2a?2 -+-..., f'x) = a0 -+- ctxX -t- a-2-r1 -\ ....

et je demande de déterminer m constantes à savoir

de manière qu'on ait, en négligeant x-'1 et les puissances supérieures,

F(x) = Rf(rx)-hSf(sx) -+-...+ \Jf(ux).

Vous voyez que c'est une généralisation de la relation de Gauss, qu'on obtiendra si l'on suppose

Le problème est déterminé, puisque l'identification donne m équations

A, =a, (R/- -t- S 5 +...+ Uu), (Aj < A2 = a2 (Rr2 + Ss2 -+-... -t-U m2))

maintenant voici la solution.

J'envisage la fonction suivante :

' a0 x at x a*x6

320 correspondance d'hermite et de stieltjf.s.

el je forme la réduite d'ordre // de son développement en fraction continue On aura donc en développanl suivant les puissances descendantes de la variable, la relation

II, .../■>=— -h- :— ■ -i r-ra -+-

Cela étant, je décompose en fractions simples la fonction rationnelle . . ' <i j'obtiens immédiatement la solution cherchée. En

admettant, «m effet, <pie \ =■ o n'ait que des racines simples et

posant