ST1ELTJES I HERMITE

Toulouse, le a > décembi e i Cher Monsieur,

Je vous remercie vivemenl pour la communication de votre généralisation du problème de la quadrature de Gauss. En posanl avec vous

F (ce i=2 A "'"'''

j\ x) = 7 a i i ■" moAx C R,

:i,n=y-î.7-«-' raod- < 1-5,, a„ x

je remarque qu'en supposant

p < motl ; C 15,

: rtaiit un nombre quelconque inférieur à 15. et

mod x < p Ri,

les développements

/l z) = a0-+- atz -+ «oz?^-. . ,,

sont convergents tous les deux, en sorte qu'on obtient en intégrant sur un cercle d'un rayon compris entre o et R

— . / f(z ) cp ( - ) dz = A0x -+- A, a?2 -l- . . . == x F ( f).

On obtient ainsi une valeur finie de F(x ) tant que modx << pR, et comme p peut s'approcher indéfiniment de R, j'en conclus que le ravon de convergence de la série F(.r) est RR(, ce qui est bien connu. En supposant, avec vous,

322 CORRESPONDANCE 1) BERMITE ET DE ST1ELTJES.

On a

X I : / /( -S) 1 h . . . CÙ!

>-i ,i ' \z — /•/• 2 — sa;

i f. , sa?*»+> e'./- \ ,

+ 5iîJ/(*)( ira +-iiïsr+-)^

c'est-à-dire

»2rtH-1 l^

L fl.a+iaf'

Mais ce n'esl là qu'une lification de votre analyse el je ne

sais pas si elle permettra de pousser plus loin cette étude.

Les polynômes l el \ dépendent seulement des >.n premiers coefficients du développement de ?(#), niais on peut changer arbitrairement ces coefficients sans affecter le rayon de convergence R,, et aussi, paraît-il. sans affecter d'une manière notable la nature de cette fonction tpl x ). 11 semble donc qu'on ne peut rien dire en général sur ces racines de V = o.

\ oici ce que je trouve en examinant la note de M. ***.

La série

1 q(i— «)=]S(atlTa)*vV(l -"-■"

esl convergente toujours en supposanl

et elle représente toujours Qi 1 — a I. Quant à

(«) q(i— «) =2 ( i,v~1 (" t-7* ) Pv S<I a ~ v '■

comme M. *** le remarque, elle est convergente seulement pour

et elle représente alors Q| 1 — a .

La convergence de la série (1) est très facile à établir. En effet, il esl clair aue

lettre 162. ; • ;

el lorsque x esl négatif il esl clair que

(lui -H u)a

*P(cc) < (oj -+- u)x > e-w-'»« =

iiinsi, le module d'un terme éloigné esl inférieur à

la série est donc convergente comme une progression géométrique

de raison ;'i peu près. Pour se convaincre qu'elle représente

toujours Q(i — a) il suffit de remarquer que si (1) est vraie pour un système de valeurs m, oj, elle l'est encore en remplaçant to par co+w. En effet, par ce changement le premier membre diminue de

Jp fO +11 pli

' e~x x~a d.r — I ey—ta~u(ui-hu — yr'dy,

il n'y a pas ici ombre de doute sur la légitimité du développement

yv-Htu -+- M)-a-v+i,

ce qui donne, enfin,

/ e~x x~a dx ~=2^\ )*v(ui + b)IHH'«"»-»,

pour la quantité dont diminue le premier membre de (1) en changeant oj en oj -+- u. Mais il est clair que c'est là précisément aussi la quantité dont diminue le second membre. Donc la formule (I) est toujours vraie, mais en somme je n'ai fait que suivre la voie que vous m'avez indiquée. Si M. *** indique oj -(-«>> i comme condition de convergence, c'est qu'il doit n'avoir pas fait attention à la variation des nombres <I>V<<<?" — Du reste, il est clair, d'après ce qui précède, que la série converge à peu près comme une série géométrique de raison > cela provient de la

° L OJ -I- u r

série i H — — (-• • • ou y a pour limite supérieure u.

\ près a\ oir établi

/ e-xx~a dx — ^ ( " ' ) *v(a -+- u )'-«-'' e-w-«.

il n'\ ,1 qu'à remplacer avec vous w par <o -h m, tu + 2 i^, ... el de faire la sommation. Si l'on suppose, comme M. ***, a>o, tous les termes sonl positifs, la convergence esl absolue et l'on peut prendre les termes dans un ordre quelconque. On obtient ainsi en toute rigueur 1 I ), mais le résultai subsiste <|uel que soit a. De même, on \uii que (II) esl convergente pour u < co, la convergence esl comparable à celle de 2, ( — ) ■•"

Quant aux expressions de R„. R',, il 0 y a pas de difficulté à obtenir de telles expressions, en écrivant, par exemple,

avec un reste. 11 esl clair qu'on obtiendra ainsi une expression qui montre la convergence de la série, \\n doit renfermer un fac-

// " leur ( - — I L'expression de M. *** laisse à désirer sous ce rap-

port . Peut-être a-t-il suivi sa méthode de déduction, et je remarque, en effet, qu'elle présente des facilités pour obtenir R„, mais, en faisant ce calcul d'une manière convenable, on doit arriver au même résultai que tout à l'heure.

J ai rédigé provisoirement mes réflexions sur la fonction T et la série de Stirling pour les reprendre plus tard plus facilement. J'ose prendre la liberté de vous les envoyer avec la prière de vouloir bien les donner à M. Bourguet lorsque vous le verrez. Si vous avez le loisir d'y jeter un coup d'oeil, je crois que la déduction de la formule

logl r) = (*--jlog*-*+-log2* + -JJ ^— -log^-^ à l'aide du théorème de Cauchy

page 1 j. vous fera plaisir. On peut donc se dispenser de petits

artifices dont on a besoin jusqu'à présent pour arrivera ce résultat. 11 reste à noter que, tandis que la véritable origine analytique de

l'intégrale

du , loi

a?2-l- ul &\i — e se trouve ainsi dévoilée, celle de L'intégrale

feaxîp

dx.

(votre cours), page 124, reste obscure.

Je suis un peu souffrant depuis quelques jours, c'est un mal d'oreille.... Mais c'est la première lois que cela s'esl déclare'' chez moi. Cela me donne un grand mal de tête et m'empêche de dormir.

La fin de l'année est si proche, que je vous offre déjà mes meilleurs souhaits pour l'année prochaine.

Votre sincèrement dévoué.

P. S. — Je ne veux pas encore trop me plaindre de mon mai, car c'est dans une insomnie que j'ai vu l'origine de l'intégrale de Binet. Mais enfin, cela ne doit pas durer.

Toulouse, 23 décembre, soir, 1888.

Cher Monsieur,

Je viens de taire une observation si curieuse que je ne peux m'empècher de vous en faire part. C'est une application de mes formules

( I ) / ( X ) = - / —z : dll ,

condition

«'(Ci

mi±=0,

(II) f(x) = -\ !"

condition

du .

\A*)\dz

3a6 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET 1)1. STIELTJES.

OÙ

f\ ui) — A + \'<i. /< — ui) = A — lî /.

I )'après la seconde, j'ai

■2 rx uB , (a -t- ui) = A -i- Bi,

-•', ' --«- f(a-ui) = A — Bi;

donc

(2) /•,« — ,, /', „ hî)+... = - / f-=^- : -)Brf",

mais de ni je tire en multipliant par dx et intégrant, si dans le second membre il est permis de changer 1 ordre des intégrations,

(3) / /i a -¥ .'■ i dx — - / B du,

et, >i l'équation (i) qui suppose partie réelle x > o est encore \ raie pour ./• = o,

i i /'") = - - / -rfu,

et ainsi ( 2 i peut s écrire /(a -i- i)-hf(a -+-2) -+-...= / /(a —./•)— -/(") -■< / g2,M t •

C'est là une formule d'Abel, Œuvres, t. I, p. 38 en bas. Mais la méthode précédente jette une nouvelle lumière sur ce sujet, la méthode d'Abel manque de rigueur tout à fait.

II faudra voir aussi à rattacher aux théories de Cauchyla formule sommatoire d'Euler et de Maclaurin. Ce sera possible probablement. Lorsque M. Malmsten a publié son Mémoire sur ce sujet de nouveau dans les Acta, la rédaction dans une Note faisait entre- Noir l'espoir d'une extension de la formule aux variables imaginaires ( ' ).

I) après ce qui précède, je crois qu'il sera possible de démontrer

la formule à l'aide des méthodes de Cauchy, mais je ne crois pas

que I extension aux valeurs imaginaires existe. En effet, plus haut,

il fallait supposer

/'( a -+- ui ) = A -t- B i,

/ 1 a — ui i — A — Mi. (') Voir Acta Mathematica, t. V. p. i.

en sorte qu'on ;t réellement à faire avec les fonctions d'une variable réelle, Aussi le théorème (l) par exemple ne s'applique pas lorsqu'on prend pour f(x) une constante purement imaginaire. Le second membre serait nul.

On peut, envisager (1) sous un nouveau point de vue en prenant pour A une fonction réelle arbitraire de u telle que

1 i mi — =0 (u = 00; k < 1).

Uors l'intégrale existe et définit une fonction d'une variable imaginaire ./', dont la partie réelle se réduit à A sur Taxe desy.

Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon

entier dévouement.