HERMITE A STIELTJES

Paris, 28 décembre 1888.

Mon cher Ami,

Veuillez agréer mes souhaits de bonne année que je vous adresse de tout cœur, et en même temps mes vœux.

A mes souhaits de bonne année je joins mes remerciments pour vos dernières lettres et surtout pour le résumé de vos éludes sur la fonction T, que je vous demande l'autorisation de conserver quelques jours avant de l'envoyer à M. Bourguet, à qui je l'ai annoncé. J'ai le plus grand intérêt à le lire et à l'étudier, mais il me faut du temps, ayant mille choses à faire en ce moment. Vous savez sans doute que M. Bourguet conteste votre conclusion que la série de Stirling est applicable dans toute l'étendue du plan, même lorsque la partie réelle de la variable est négative. D'après lui, la série n'est valable qu'à droite de Taxe des ordonnées et voici le motif qu'il m'en donne. Supposons la relation

i.i.a 111yj.lL — 1 )«-"-'

et désignons par R/ ce que devient R lorsqu'on change a en — a) On aurait évidemment

i >x CORRESPOND ANC H d'hERMITE ET DE STIELTJES.

quantité qui dépend de I entier n, ce qui se trouve en contradiction avec la propriété suivante, que M. Bourguel a découverte :

J(a) .1 — a i - - 2 logi i — <?2-«').

En attendant que vous ayez le dénouemeni de la difficulté, je fais encore appel à votre bonne obligeance en vous priant de m'expliquer ce poinl de votre lettre du 23 décembre, où vous dites qu'en supposant que 11 >oii le rajon de convergence des séries

l-i.ri =-.^A„X", f(x) =2««^":

et que la série

soit aussi convergente pour mod < Ri, on peut en conclure, ce

qui est bien connu, que lilî, esl le module de convergence de F (a?). Comment donc mon cher ami, par\ enez-> ous à celle conclusion? Commenl le l'aven de convergence de I ./ . que dous supposons égal à R, devient-il ensuite lili, : comment, enfin, cette conséquence est-elle bien connue?

Excusez-moi, je \ous prie, de ne pas apercevoir ce qui est clair et évident pour vous, et plaignez-moi de ne pas avoir une suffisante liberté pour me consacrer plus entièrement à l'Analyse.

Les résultats de M. ***. sur la convergence de> séries qui représentent Q i — a), me causent beaucoup de surprise, et me paraissent très dignes d'attention; grâce à vous, je vais pouvoir les étudier à fond et m'en rendre bien compte.

Encore un mot sur la formule de Gudermann ; dans une de mes leçon-, de cette année, je la tire de l'expression

.1 (a) = - / <"'■' — - dx,

en remplaçant

par > ekx H i / — o, [2 /; — i).

La décomposition de la quantité e^a+kix— en

éléments simples donne I intégrale définie, immédiatement, et on

trou Vf1

JIIIISI

log/i

il J (a -+■ n )

Avec la nouvelle assurance de mon affection cordiale h bien dévouée.