STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 29 décembre 1 s*s.

( .11 1:1; Mon si ki il ,

En \ous remercianl pour votre souhait de bonne année... je peux vous dire aussi que mon mal ne paraît pas bien grave à mon médecin. Cela doit être un abcès dans l'oreille qui se guérira avec un peu de patience et de repos, niais c'est très douloureux; heureusement, je constate déjà un mieux sensible.

Je suis très honoré que vous voulez garder un peu mon manuscrit pour l'étudier et naturellement vous pouvez le garder pour cela.

Maintenant, je répondrai encore succinctement à vos questions. Dans la lettre du :^3, je dois avoir écrit

f(x) = \ Ct„:cn, niod.r < H,

es ( x ) = > — - a?-"-1 , mod - < R 1 . ' -— a„ x

Ainsi je ne fais pas de supposition sur le rayon de convergence de F(.r 1; m lis il suit de mon raisonnement que ce rayon e^t RR,. Ce théorème, en ellet, doit être connu; si l'on a

\ a„xn, rayon de convergence R,

Alors le rayon de convergence de

> a;ibnx"

est au moins III!,. Je crois que ce Lhéorème se trouve énoncé explicitement dans un Mémoire de M. Pincherle dans le Journal de Brioschi. Mais la chose... esl bien facile à démontrer. Soient /■ un nombre positif un peu inférieur à I». /■,... un peu inférieur à R^ , ries

sonl convergentes el même absolument convergentes. vu^-i mi a que] que soit //

|a,r»|<P, li.rfKQ,

P, Q étanl des nombres Unis, d'où

\a„bn(rrt)"\< PQ,

ce qui montre que 2^anbnxn es^ convergente tant que x reste inférieur à //,.... mais rr{ peut s'approcher indéfiniment

de m;,.

La remarque de M. Bourguel

J(a) -+- J(— a) = — log( i — e**«')

est parfaitemenl vraie; toutefois, il faut supposer, essentiellement que le coefficienl de i dans a

esl positif, y ^> o : ainsi

x — 22TO» = [ — <?-2?w(cos j/?- h- i sin ■> />- |.

Lorsque a croit indéfiniment, il en esl de même de ^(autrement un des points « ou — c< resterait toujours dans le voisinage de la coupure, cas que j'exclus expressément ). lit alors vous voyez bien que J(a) + J( — a) tend vers zéro. 11 n \ a pas de contradiction avec mon résultat, donl je crois du reste «pie la démonstration est inattaquable.

Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon dévouement.

LETTRE !<><>. >3l