COS - : \ 2 ( 'I )„ - ,- COS

ou encore, en changeant /• en n — 2/*,

■2 cos — — ^- ) => 2(n),. cos— — — — <

puis seinblablement

x — y\" V1 1 -, (n — is)(x — y) 2 cos — I = > 2( /£).,■ cos - — '—L'

Soit, pour un moment, a = /?. — 2/', b = n — 2s, il viendra en

multipliant

/ V^ , . , . a(x-{-r) b( x — y ) 2" (cos x -4- cosjk)" = > !\(n)r(n)s cos — cos —

Cela étant, je change y eu — r, et j'ajoute membre à membre en divisant par 2. On trouve facilement

COS : COS ■ : (- dis — ^— i COS :

= cos — — x cos — — 7 + cos x cos — -y-

< >ii ,i ensuite

de sorte qu'il vient, pour le développement cherché,

•>" i cosa? -+- eus y i" S?.(« \,.( n )s [ cos( n — r — s)x cos(.s — r \y

-t- cos(/i — /• — .s- )y cos(s — f)x\

où les entiers r el s parcourenl la série 0.1.2.... jusqu'à l'entier contenu dans

Je ne puis assez vous «lire combien j'ai vu avec plaisir l'extrême élégance et la simplicité de votre analyse, dans une recherché difficile el profonde, qui conduit si aisément à un résultat important et très caché.

.1 ai peu travaillé pendant ces dernières semaines. M'"e Hermite ayanl été malade d'une bronchite quia donné quelque inquiétude. mais dont elle est maintenant guérie, et je pense pouvoir me remettre à l'oeuf re.

En nous priant de m'autoriser à annoncer à M. Jordan les recherches que vous m'avez communiquées sur les fractions continues, auxquelles j'attache un grand prix, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mes sentiments affectueux el bien dévoués.