STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 6 mars [889.

Cher Monsieur,

Je vous remercie vivement pour votre bonne lettre; veuillez bien être assuré de la part que je prends au deuil qui vient de nous frapper. Je vous prie aussi de vouloir bien me rappeler au souvenir de Madame Hermite. Votre méthode d'établir le développement de 2"(cos.z + cosjk)" est certainement ce qu'il y a de plus simple. Je me rappelle que M. Tisserand, dans un de ses

Mémoires, se serl aussi de la décomposition

x -t- y -T — Y cos a" -+- cos y = •>. cos — cos — • ■ • >

mais sa méthode est beaucoup moins simple parce qu'il n'a [tas eu l'idée heureuse de changer y en — y et de prendre la demi somme. Mais cette transformation

air -h y) bix — y) air — y) bix -t- y) cos — — cos — — — + cos — ^— cos *-!-

= cos - — — cos h- cos — <•<>- "i-

est jolie et un peu cachée.

Je pense toujours aux fractions continues. Soit f\ u) une fonction qui ne devient pas négative et telle que

c/c= ! ukf{u) du (/i = o, 1, •?,, 3, ... 1, ail une valeur finie. Alors pour x > o

( I ) / J <5T M = — - -+- . . . ± ZlZ I

11" /'( u ) , du.

( X -+- u On a

c0 ^ c, " " C„ ^ Cll+i

et ce rapport -^ croît au delà de toute limite. La série (1) est

donc divergente, si l'on voulait la continuer indéfiniment; cependant. . . elle permet de calculer l'intégrale

fxf'( u ) du

avec une certaine approximation qui dépend de la valeur de x. Mais je transforme la série

£0 £i Cs

35o CORRESPONDANCE D II ERMITE ET DE STIELTJBS.

en fraction continue

alors tous les at-, 6/ sont positifs.

Les réduites d'ordre impair diminuent, une telle réduite est toujours supérieure à I.

Les réduites d'ordre pair vont en croissant, une telle réduite est toujours inférieure à I .

Donc les réduites d'ordre impair tendent vers une limite A, les réduites d'ordre pair vers une limite B et

La fraction continue est convergente seulement lorsque

i même si elle n'est pas convergente elle permet de calculer I avec une certaine approximation comme la série divergente ). Soit Kn le minimum de

/ f(u)(i ■+- X\ a -+- x^u-^ . • ■ -+- xn «")2 ^u-

alors

donc

lim R„ = X. n = -x,

et A est positif ou nul.

« Pour que la fraction continue (2) soit convergente il faut et

il suffit qu'on ait

Dans le cas

on peut calculer facilement

ba (a + i)(a + 2)...(a + n)'

donc, dans ce ( :as

X =o et fraction continue; <<>>n<r t:rntc .

ainsi pour b = i

/' * u"- ' e~u , l'i c/ i / au =

pour a = i c'est le résultat de Laguerre dans le Bulletin de la Société Mathématique de France. Mais Laguerre a considéré seulement les réduites d'ordre pair qui donnent des limites inférieures.

K étant égal à o clans le cas f{u) = ua~ie~bu, il est clair qu'on aura encore ~k = o dans le cas

f(u)= ua-le-b" v(u),

pourvu que <f(u) reste inférieure à un nombre fixe, et la fraction continue est encore convergente.

Mais la question difficile qui m'occupe encore est celle-ci : n'at-on pas toujours "k= o?

J'incline à le croire en ce moment et je chercherai à établir ce point. Voici encore un résultat

log r(a?) = ( x ) logrr — x H — \ogiv. -\- i(x),