i.x 3.4-«"3 5.G../'; en fraction continue convergente

at = 1 : 1*2,

a-2 — 1 '. >o, az = 53 : 210.

<Z; = 195 : 371 , ct5 = 22 999 : 2>. 737.

la loi des coefficients <■*,, r/2, . . . semble extrêmement compliquée. Mais j'ai fait la remarque que la théorie de la fonction T fournit aussi des exemples de développements en fraction continue de ce genre, où la loi des coefficients est extrêmement simple. Soit

<K«) = 3s[iogr(a)],

ci considérons les expressions

*=+(-rj-'KT)-'^

*-.-.[t(-±2)t(--»)to, Les développements divergents sont

i i il) 272 7936

ju-1-.-L + i

lll) = - -

( les coefficients

dans le développement de X, sont ceux que l'on rencontre dans I 1

1 > Oi , 108^

sec;r = 1 H : ,r- -4- — t a?» -+- — ; a?6 h 777- ar8 ....

<i les coefficients

sont ceux de la série tang^r = se ^

1 , 2, ili, 272, 79'3(),

/■•> 1 — 1 -TM ( ' '

En développant en fraction continue, on obtient les expressions extrêmement simples (et convergentes")

tt.li)

Il me semble forl probable que dans le développement en fraction continue de J(x) on a aussi, comme dans les fractions continues que je \ iens de décrire,

uni — = consl. ! .= — — - 1 i a = -x. .

/i- \ îb /

( )ii peut directement constater la convergence <!<•-; fractions continues -V et ill> à l'aide de ce théorème (dû à Stern et à Seidel). { ne fraction continue

où les y. sont >- o, est convergente lorsque la série

c>t divergente. Soit, en effet, Prt : 0« la niea,e réduite, on a

Qi = *i,

Qb = ^«Qrt-i -t- Q«-i] donc

Ql<Q3<Qô<Q7<.---

Qi<Q*<Qi< <*•<•...

Or. on voit facilement que

Q2«-i> ai-H «3H-...-S- «2»-i,

( Qs*> ai(a2— av-, . . . - a,,, I

car <)j«i se compose des termes oc,, a3, ..., a2w, et d'autres encore. De même, pour Q2«. Or, la fraction continue est

Q* Q, QtQî QïQs '" Q«-iQ«

mais si la série

est divergente, il est clair d'après (a) que l'une au moins des quan-

LETTRE 173. y>->

tités <^2//i Qi/,, ... croit indéfiniment et l'autre croît aussi. Donc la convergence est manifeste. \u contraire, >i la série

ai H- a24- %i-h . . .

éiiiiL convergente, le produit (i -f- at)(i -f- a2)(i H- a3). .. le sérail aussi et, à cause de

Q«< (i -+- a, )( i -h a2 !...(i -i- %a ), on aurait

J i m 02,i — ! = A, IîmQg«= B,

A et B étant des nombres finis. Il est clair alors <|iic les limites <l<-

* 2« . . 'Itl-l

t? — et de

diffèrent entre elles (eux), la différence «si — — . x ' A Ij

A l'aide de ee théorème on reconnaît sans peine la convergence

des fractions continues (JU) et (i)!>).

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance Ac mon entier dévouement.

P. S. — On peut écrire aussi

*-î [♦(Sf5)-*(£T1)]' — ,ï[t(--i)t(--)],

a = i, '}(i)= — G, 'M - j = — G — 2 log?.,

eAo = 10g2,

log?. =

iG

la nleme réduite de la fraction continue pour log -2 est

[ii i ,

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