HERMITE 1 STIELTJES

Paris, i '( mars i ss..

Mon CHER \mi.

J'avais fait grise mine au développement de

Bi B2 .

en fraction continue, à cause des nombres énormes qui figurent

dans ai, a2, a3 mais vos nouveaux résultats m'enchantent. 11

me semble que 1 on a

C* . • , i / -x tana i '■'■ -„l, = / =i'ci.r(^a-'>/r et iJÎ) = - / 2 — e~ax dx\

ne doit-on pas supposer a __. i dans les fractions continues, pour qu'elles convergent?

< )ù et quand publierez-vous [analyse qui nous a donné ces formules si intéressantes et si nouvelles?

On m'a demandé un article pour les Mémoires de Bologne et j'ai eu l'idée de le composer avec des applications de la méthode

iii i e • ii " ' ( " + b )"

de Laplace, a la lonction l\(.r) = \- ■ z h.-.; aux

coefficients du développement suivant les puissances de ./■. de :-!)./•, de (-), (.r) et Ht (#), en dernier lieu à l'expression que Laplace a traitée lui-même

pour avoir l'occasion d'abréger et de simplifier un peu sa merveilleuse analyse. A l'égard de l\<./-\ je donne votre formule

/ in- ■Kin-\

. , cos ( .rare tari"- — -. . —

comme vérification, en disant qu'elle a été obtenue sous une forme peu différente par M. Lipschitz et M. Lerch; mais j'aimerais bien

LETTRE 17V. 35j

que \ous ine disiez s'il ne serait poinl j u si <• de nous citer, <*t disant (juc vous me L'avez communiquée.

Je vérifie aussi l'expression asymptotique du coefficient de xza+i ,

dans le développemenl de su./-, 11m esl ,-',,.,...., , > par celle re- 11 1 lxf k 'yn+i '

marque bien facile.

Les pôles de sn.r étanl p = 2#K+ (26 -f- i)/K/, Le théorème

de M. Mittag-Leffler donne

K su ./• = G (x) -+-7 ( — 1 ia ( 1 1 ■ ) = A

OÙ il est aisé de voir que G"(jp) = o. Effectivement les dérivées secondes de deux membres sont des fonctions doublement périodiques, donc G"(#) est une constante, et cette constante esl aécessairemeul zéro, ces dérivées étant des fonctions impaires.

Celte relation donne, pour le coefficient de x-"+{ , l'expression

'- , la somme se rapportant à tous les entiers a et b. Or, il

y a deux pôles p = iK! et p = — i¥L' dont les modules sont égaux et moindres que ceux des autres pôles, de sorte que, pour n très