STIELTJES A II ERMITE

Leyde, 12 août i883.

Lorsque, hier soir, j'apercevais la transformation dont votre formule est susceptible ('), j'ai voulu vous en donner connaissance le plus tôt cpie possible et le temps m'a manqué à indiquer comment j'y suis arrivé.

Prenons n = 3- ; en jetant les yeux sur le calcul

zg(P)-

que dans

la colonne r

mi

j'observe

trouve les

(') Le début de la lettre semble indiquer qu'il existe une lettre du 11 août. Elle manque.

'I CORRESPONDANCE D'flERMITE ET DE ST1ELTJES.

nombres en renversanl l'ordre) i . 2, 2, 3, 3. On s'assure aisément que, dans le cas général, ces nombres sont

1 • - 3 3 3 i 4 i i etc.

, deux foi- . (mis fuis quatre fuis

en sorte que le second membre de votre formule peul s'écrire

§ p *[g(p— 2)-t-^CP- 4)]

- i[g p 6)-hg(p- 8)4-^(^ — 10)] \[g(p — 12) -+-g{p — 14) h- g(p 16) ?{p — 18)]

En remplaçant // par n — 8, p par/? — 2 on a de même

<?(/> — 2)-t-2[^(Jp— 4) + <?(/>— 6)]

\[g(j> n ?(/> — 16) -t-^0» — 18) + *(/> — aoj] -1- :

la différence est

-h2\g(p— 2 \ — g(p~ 6)] + 3 [£■(/> — <■■' — A'O— 12)] + il >(/' — 12 1 -Ar'/' - 20)]

ou

c est-à-dire

\-i-on jamais vu une formule plus belle! Je n'aurais jamais pensé qu'une expression aussi simple pourrait exister. Et que celle formule est différente de celles qu'a données Eisenstein ! Je ne puis exprimer, Monsieur, que mon admiration pour des recherches qui \011s oui mené à nue vérité aussi belle. J'espère être assez heureux pour connaître un jour les principes que vous avez suivis dans celle investigation.

\ otre très dévoué.