Il

grand, on a sensiblement, puisque a =1 , .,,2/t+1 ; pour la valeur de

la somme A.

Mais tout moyen de vérification m'échappe pour H 1 (a:) et0,(x); voici le calcul pour la première de ces fonctions.

La série

Ili(.r) = > 9, \J a11' cos — — (n = ï, o, 3, . . .),

donne pour le coefficient de — 1— > l expression

' 1 . 1 . . . 2 ni l

(£)-;g-yp,

où les termes vont en croissant jusqu'à un maximum, pour décroître ensuite indéfiniment. Je pose

f<n)=n*>» v'v"\ log/( n ) = 2 /n log « -K »

puis

-un > nr.\\ im -.K

D/llog/(n)=— - .- el D*log/(n)=- — ^

l,i valeur de n qui donne le maximum •■>! donc

ci | eu conclus

(î /// k "' — K' -—ç^) —"h D*log/(/i) = — .

d'où

.1 \ ,inl ainsi

/4/nKV" -£t^!

/(» + ')= (ÎTk^j e'"c '

l'expression asymptotique cherchée esl

puis, plus simplemen I.

i.i... rm \wk') e '" y "k7 '

remplaçant 1.2...2//2 par sa valeur, je trouve enfin

\ dus voyez que c'est assez simple, et surtout la racine m' rae.

11111 est, à fort peu près. - — ^— 7 ; il me reste à chercher si celte loi

1 l x 1 /;/ KK

de décroissement des coefficients s'accorde avec un théorème que Poincaré a donné dans le Bulletin de la Société philomathiq lie. Je ne puis assez, mon cher ami, vous remercier pour ce que vous ni avez appris sur la convergence des fractions continues; j'ignorais entièrement le théorème de Slern et Seidel qui est excellent et m a fait le plus grand plaisir. En comptant que vous continuerez de me faire connaître ce que vous découvrez chaque jour, je vous renouvelle l'assurance de mou affection bien sincère el bien dévouée.