STIELTJES A 11 ERMITE
Toulouse, i5 mars i88f).
Cher Monsieur,
Après réflexion, je crois qu'il vaul mieux que mon nom ne smi pas nommé à l'égard de cette formule
h lU.r — i)
-F(ïj-=I + ""
qui «si due, en vérité, à M. Lipscliitz. Celte formule montre de la manière la plus simple que
.. ftR(j-i)
lim — - = 1 pour .r = x.
Mais voici une aulre formule qui met en évidence plutôt la. différence K(x) — > T(-r + ') ou R(r) — jQ(x + 0
>- r^- = t- / 11* e-" du -+- - ar e~a
smd ea+llb bj 1
— i. I e~a(\/a*~+- b~*v?)X sin ( x arc tari£ 6»)
Elle se simplifie notablement dans le cas a = o,
(") 7' r~ = tTOt + i — 2 / -= (6M>rsin( -a- — 6« •
Il faut ici supposer toujours zr >> o ; pour x = o, il faut ajouter au second membre - • La formule (I) est encore exacte pour x = o, et cela explique, jusqu'à un certain point, pourquoi, dans (II), il faut ajouter - lorsque x = o. En effet, en posant dans (I) x = or le terme
-axe~a,
donne - e~a, ce qui devient - pour a = o. Mais si l'on pose d'abord
<■/ = »). comme on l'a fait pour obtenir (II), ce terme -axe~"
disparaît complètement.
Ne comptez-vous pas traiter aussi dans votre Mémoire le cas des développements de
( les cas semblent intéressants parce qu'on sait, a priori, que la convergence a lieu tant que x rote inférieur à la plus petite des deux quantités 2 k et i k et il e>t curieux de voir comment l'analyse opère ce choix entre k et k'. \ ous avez indiqué la solution .le cette circonstance, qui peut paraître d'abord un peu singulière, dans votre lettre à M. Konigsberger (C/el/e, t. 81, p. 222), mais m' songez-vous point à établir les résultats que \011s y avez donnés? Le- fractions continues que je vous ai communiquées pour les fonctions
/' ex — e~x , /' au du 0. \ e~ax dx — / / \ = —
je les donnerai dans le Mémoire cpie je prépare pour M. Jordan. I \ considère, en général, la réduction en fraction continue de
) rii^idu= — £? — [Au)>o],
et vous voyez bien qu'elles se rattachent à cette étude, f(u) étant dans les deux cas
(il y a encore à changer a en a2 et ;'< multiplier par a). C'esl aussi on vertu d'un théorème général que je peux affirmer la convergence de la fraction continue obtenue pour
C'est un exemple qui appartient au choix
/(in = u - log '
i — e-*nv"
mais, naturellement, on ne peut pas attendre que la loi des coeificients de la fonction continue soit toujours simple. C'est précisé ment en cherchant de tels exemples que j'ai trouvé ces résultats. .!»■ remarque que la seconde fraction continue peut s'écrire
cl comme la série
est divergente, elle est convergente tant que a >■ o, la restriction «^i serait inutile, il en est de même pour la première fraction continue.
Mais vous voyez bien aussi que cette transformation
et
donne implicitement une nouvelle manière de définir ces nombres 1 , 1 , 5, 61, ... et 1 , 2, 16, 272, . . . (nombres de Bernoulli).
MÔ2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
\u>-<i. l'établissement de ces formules exige de nouvelles recherches sur les nombres de Bernoulli qui me paraissent essentiellement distinctes de tout ce qu'on a fait jusqu'à présent làdessus. Mais je suis occupé à simplifier mon analyse qui est encore quelque peu informe, el je chercherai aussi s'il n'j a pas de rapport avec les recherches antérieures sur ce sujet. La relation découverte par Seidel il y a quelques années ne paraît pas être liée à la réduction en fraction continue, mais j'ai lu que M. Stern a généralisé les relations de Seidel, et il y a encore d'autres travaux là-dessus dont je dois prendre connaissance.
D'après les valeurs des fractions continues, on doit avoir
ce <pii fournil le moyen d'exprimer les nombres eulériens i, i, 5, 6i, 1 385, ... par les nombres i, 2, 16, 2-2, ... (nombres de Bernoulli, coefficients de la tangente) ou réciproquement. J'emploie tous mes loisirs à travailler à mon Mémoire pour M. Jordan et j'espère que dans quelques semaines je pourrai le lui remettre. Veuillez bien agréer, cher monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.
