IIEIiUITE A STIELTJES

Paris, 18 mars 1889.

Mon cher Ami.

Permettez-moi de recourir à votre bonne obligeance et vous prier de m'indiquer quelle est, dans le Mémoire de M. Lipschitz, la relation qui revient à celle que vous avez vous-même trouvée :

— +-. = i-|-.,.. afin (iue ie puisse laire une citation bien

précise. Et puis, pour M. Lerch, dont le Mémoire traite le même sujet, a-t-il obtenu également le même résultat? M. Lipschitz doit faire une revendication de priorité, toute bienveillante, M. Lerch n'a pas eu connaissance de son travail, s'étant confié à

un Mémoire de M. Hurlwilz sur une «| ucsl ion analogue cl dans lequel les recherches de M. Lipschitz ne m1 trouvenl poinl men tîonnées.

J'ai besoin de réfléchir sur vos équations (I) et (II) pour en bien comprendre la signification; comme nous avez dû battre l'estrade de tons côtés pour rencontrer cette formule!

J'avais songé de moi-même à ces nouveaux points de vue pour l'élude des nombres de Bernoulli et d'Euler, auquel vous vous trouvez amené; tout cela rendra extrêmement intéressant votre prochain Mémoire sur les fractions continues, que j'étudierai avec soin, vous pouvez y compter. Mais, en ce moment, je suis dans le chagrin dune grande déception au sujet de la méthode <\r Laplace. En posant

II, Cr ) = £(— i)"!By/,.r2'".

elle donne, de la manière la plus facile et la plus simple, les valeurs asymptotiques

ejK V" / K jmKK'/ y unirR'

nKK'J y nnzK'

.4 ,n d'où l'on lire, en supposant m très grand,

'"/t> — mn —

Viim= VA.,„.

Ces deux fonctions conduisent donc au même résultai pour la loi de décroissemenl des coefficients que l'exponentielle

puisque

C,„ = = : > doit )/l,m=— •

Mais, à l'égard des fonctions semblables,

0(.ri = S(— i)'*A>mafl'*,

les nouveaux coefficients -l,„ ii ifi>m sonl représentés par des séries .1 termes de signes alternatifs; ;i i n si on a, en désignant par a les nombres impairs et par h les nombres pairs,

( )r. la similitude d'expression des deux termes généraux b2mg el <t-'"<i'l'~ a pour effet qu'on obtient la même valeur asymptotique |)0ur La première série et pour la seconde. Par conséquent, -1„, a une loi de décroissement plus rapide que Am et qu'on ne peut obtenir par la méthode de Laplace qui ne donne qu'une première approximation. Cette imperfection a bien été reconnue par Laplace lui-même, dans La Mécanique céleste; il se tire d'affaire avec une audace dangereuse dans Le cas qu'il traite, niais, pour le mien. tout m'échappe et me manque, même l'audace, Quel dommage! La relation

montre, comme vous voyez, <pie la loi de décroissement. pour le carré (-)-(./•), peut se conclure de ce qui concerne St(x). mais je dois renoncer faute de moyens, faute de ressources, à toute tentative pour parvenir à 0(.r) lui-même.

Je vous renouvelle l'assurance de mon affection bien dévouée.