STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 19 mars 1889.

Cher Monsieur,

\ (»us avez eu la grande bonté de me demander dernièrement de détacher, du travail dont je m'occupe actuellement, une Note pour les Comptes rendus.

J'espère que vous ne désapprouverez pas si. au lieu de cette question du terme complémentaire d'un certain développement en fraction continue, j'ai choisi un autre morceau traitant des dérivées de sécz ci de tang.r.

C'est parce que peut-être quelques géomètres, en lisant ma Note, trouveront plus de plaisir à chercher une démonstration des relations que j'ai trouvées, qu'à lire plus lard cette démonstration dans le Journal de M. Jordan. Suivant moi, celle démonstration esl assez difficile à trouver.

Je vais indiquer comment les théorèmes sur les dérivées de sécz et de langue permettent d'établir mes fractions continues. En général, lorsqu'on pose

Oç nj «2

les p. <f s expriment ainsi

An =

«n-l «il

A 7+1 Ba.

En supposant donc que les a/ soient les coefficients (\u développement

ou du développement

la difficulté se réduit à calculer les déterminants \„. B„. Mais ce sont les déterminants des formes quadratiques

n — 1 n — I ii — ln — l

366 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DK ST1ELTJES.

et les valeurs des déterminants découlent immédiatement des

décompositions en carrés.

\in>i. dans le premier cas,

\„ — {a^bid. .)*= [o! 2! j !...(»« — a)!]*, B„ = (rt,ô2c3...)2= [iï3! 5!...(a« - 1)!]*,

= [(an - «)!!«, ^ = [(2,1 - i)!]«, ^ = [<*»)!]»,

/>„ = 1 in — 1 1-, y„ = 1 > 11 >2,

./■ ,/-3 ./'5 ar1 1 :

Dans le second cas, on obtient de la même façon

\n = i!a!3!...(an — 1)!

(2/1 — 1): (an)!

-^ =(an)!(art 4-i 1!

pn — ( 2/1 — 1)2/1, 7« = 2 «( 2 « -+- l),

Je crois que l'étude des dénominateurs des réduites de ces fractions continues ne doit pas être négligée, niais, dans mon Mémoire, ces fractions continues ne figurent qu'à titre d'exemples de la théorie générale, et cette étude particulière m'entraînerait trop loin et y serait peu à sa place.

Je ne sais, monsieur, comment je dois vous remercier el

m'excuser de la peine que je \ous cause; croyez bien à mon dévoûment sincère (').

«0=1, / = sccj-[i |,

«1=1, /" = séca?[i -+- 2-z],

a2 = 5, fM = sécr [ 5 -+- 283 -4- >. j s! |,

«3= 6i, /t6) = sécr[6i -h 6623 + 1 3-20G- -4- 720 .z3 1,

<i4= 1 385, /<8)=séc.r[ [385 + 24 568.3-4-83 664«!+ 100800 3s-f- (o '<><>.

^6=27702765, /' = séca? tanga?[i],

«7 = 1(J9 36o 98', /(3) = séca? tang./[5 -4-63],

«8= '9 5«)i 5i2 14 5, /'s) — séca: tang#[6i -4- 180 -3 -t- 120s2],

, /*l7) = séca? tan g. r[ 1 38 5 -4- 7 2663 -4- 10 920 32 -4- 5 o jo g1 J,

a6 — Gi2-4- 6622 + 1 32o2-h 7202, coef. de fr>,

a6= 5.1385 -t- 28.24 568 -+• 24.83 664, coef. de /<*> et de /«•>,

<z6 = 61 . 1 385 -4- 180.7 266 -1- 120. 10 920, coef. de /';,) et de f ■'■ ,

a-t= i3852-4- 7 2662+io9,to2-4-5oio2, coef. de/'7).

rt0=i, 'f = tanga-[i |,

«1 = 2, tp* = tanga-[2 -4- 2- |,

«2= 1 *3, cp'-*>= tanga-[ [6 + 40; -t- 24 -s2 J,

"3= 272, <p(6)= tang^-[272 -4- 1 232- -4- 1 680 32 -4- 720 33J,

«4= 7 986, 'iW= tanga-[7 936+ 56 3203+129 024-3s-4-i20 96033 — jo $203'' 1.

«-= 1 903 757 3 12, cp'" = 2 -4- 8 s -t- 6c2,

<f8 = 209 865 3/|2 976, Cû(5,= |6 -4- l365 -4- 24032+ I2023,

(,' ) Note des éditeurs. — La Note jointe à cette lettre a été communiquée à l'Académie dans la séance du 25 mars 1889 (Comptes rendus, t. CVIII, p. 60J-607 ).

Les valeurs numériques des coefficients des fW et tpW de cette Note n'ont pu trouver place dans les Comptes rendus. Nous pensons utile de les reproduire à la suite de celte lettre. Elles faisaient partie de la première rédaction de la Note en question (voir lettre 179).

CORRESPONDANCE D'HRRMITE ET DE STIELTJES .

,,, , . i62 i. i- ï.a42, coef.deif • .

,, 1 . ,. ,- , 3.2. 1 2 ; 2, coef.de 9 -Ci de<f

ak s.8. i36 - j.6.a4o, coef. decp^et de-; •■

,/8 = 1 .- 1, iii- ;."><"» ; > . . ; >. 129 0-24* h 7. 110960* -4- 9.40320-, coef. de e^8',

,/ ». . 3 968* -i- 4.120962 6- 13 44o2-4- 8.5oio2, coef.decpw,

a- [.272.7936 -3.1 23-2.56 3-20 5.i 680. i-ag 0-24-t-7.7-20.ru) 960, coef. deç>(6)eldes18