partie réelle .s- > i

(si mes notes sont exactes). J'avoue que cette condition relative à s m'embarrasse cl me semble superflue, la supposition

x=p-hgi (q>0)

assurant déjà la convergence, quel que soil s. Aussi, pour retrouver voire Ll(.z), je prendrai s négatif

ib \ ea v i a -+- nl> \r '

ex.. I a W \ e V

3jO CORRESPONDANCE D'HERJHITE ET DE STIELTJES.

Or, les équations (4) et (5) de M. Lerch sont

(ji 9C(w, x, s) = e-«tfr(i — s) . K(w, x, s) (p. 21),

■^^ g— inniiv

Donc, substituant

Dt' ( ir. .r. .v ) = — F ( I — 5 ) e-i"'U+2»vx) "V

g — ifïlUW

[2~/( .r -r- // ij'-s — »

Appliquant ceci au premier membre de (o), on obtient

— ïnTli- -Til I — » -i-l—l I ^—* /

— ("i/iT.i — 6 )J

ou bien, à cause de

-^( b — \>.n-i y en égalant ceci au second membre de (S )

^J ea+nb ^(b — imzi >•'

(<■ (|ui est la formule (,3).

Je partage votre chagrin de ce que la valeur asjmptotique de -l,„

dans

se dérobe, tandis que celle de \w dans

ei(.r)= S(— l)»'AmX*'»

s'obtient sans difficulté. -Xm étant la différence de deux quantités dont \m est la somme, et vu le degré d'approximation que donne

ordinairement la méthode de Laplace, je crois qu'il est probable

que le rapport -1>W : A,„ sera de l'ordre — ou, enfin, d'une puissance

négative de m à exposant fini, en sorte que le rapport y/<Jl>OT à y/A,« est sensiblement = 1 .

lime semble peu probable, en effet, qu'il y ait une compensalion plus complète dans les deux parties de A>,n. Cependant, il faut avouer que cela n'est qu'une conjecture toujours incertaine, et si j'avais un peu plus de loisir, je serais beaucoup tenté de consacrer quelques efforts pour trouver la vraie valeur asjmptotique de ^m. Mais ce sera difficile, je crois, et, pour moi, il est absolument inutile de m'occuper d'une question de ce genre si je n'ai pas le temps nécessaire. Je ne réussis qu'en revenant toujours à la charge et avec la volonté ferme de parvenir au but.

Je me suis aperçu que mes résultats relatifs aux dérivées de

sécr et de tang.r s'appliquent presque sans changement aux

dérivées de

sinain.r, cosama?, Aam.r

Je considérerai seulement

f — cosama?

et je pose On trouve

z = k sin ani2.r .

/ =cnx[i],

f = sur dur [ — 1 J.

f" =cnx[—i-+-2/cz],

f" = sna? dn.r [ i -4- 4 k ■'- — 6/c ; ].

fW = sn x ànx [— 1 — 44 k1 — 1 G k ■'* -+- ( Go k -+- 1 20 k3 )z — 1 20 k*~z- ],

fW = en x [— 1 — 44 k2 -f- 1 G k>

-4-(i82./c-f- i48/c3-H 3>.k> )z — (8io/l2+48oA-l)-:i-+- 7>.oA3^3J,

si je considère d'abord les dérivées d'ordre pair

/ = cn.#[i] =cn./[auJ,

/" = cna?[ — i-\-2.kz], — cn.r[ — al-\-blz'\l

fW — en, = ciij-[+ (t., — bi z -+■ c> z"- |.

/i6) = en x | — a3 + b3z +■ c3 z* — cl., z:i \,

37'2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE ST1ELTJES.

i'ai

"1 cna: = «o— — x-

V > ", /.X;X/, —- t<>„\„ atX, - œ2X2 . . . i*

-+-(c2Xî-i-...)2

absolumenl comme dans le cas <l<' sécr. I )<■ même pour les dérivées <l ordre impair. Ainsi, par exemple,

aB= (1+ (4 /«'- -1- 1 (>/■'• > - — *— t Go/. -- l'o/, :i 1- -î- 1 110 k2 f2,

ou si je pose, pour simplifier, 2À*=/,

as = 1 1 -4- 1 1 /- + /'♦ 12 -+- (3o£ -+- I ") /:; '" - I io /- )-.

as — 1 - ()•>■< l* -f- 1 g23 /v -f- '47 /6 ■+- ^8,

a6 = i4-8 3<>3 /2— 5 i Ji") /'' — 1 j <>i<) /" + 1 oi3 /x -+- /10.

Ce sonl exactement les valeurs données par Briot et Bouquel (p. \('>i) et qu'ils ont obtenues à l'aide de votre belle méthode. Pour /. = 1 . on retombe sur mes premières formules qu'il étail bien nécessaire de découvrir d'abord. Et voici maintenant comment ma première fraction continue se dédouble

/ cos a m •; e~x" dz — —

j Aam-se-*- dz -

LETTRE 178. 3".î

c'est-à-dire

cosam; = «„ — z1

A a ni z = f/0 — z--{-

Je n'ai pas encore considéré sinam.r, mais je vois bien (jue ce cas exige une légère modification. Aussi, je n'ai pas encore réduit les intégrales

/ cosam zc ■'-" dz. j iam^e- xz dz à la forme

ce qui est très essentiel pour moi. Mais tout cela va me donner encore beaucoup de travail. En effet, j'étais assez satisfait de la démonstration de mes théorèmes sur les dérivées de séc.r et <lc tang#. Mais, si je voulais tenter une pareille démonstration pour cn.r, dn.r, la chose serait bien possible, mais cependant très pénible. Or, ces relations me semblent si simples que je ne peux douter qu'elles ne soient L'expression de quelque fait analytique également simple. Il faudra trouver cela.

Sachant que vous prenez intérêt à la loi des coefficients ai, hc dans les développements des fonctions elliptiques, j'ai cru pouvoir vous communiquer ces résultats. Vous voyez que, dans mes recherches, je me suis rapproché maintenant du sujet qui vous occupe actuellement, les valeurs asymptotiques des coefficients.

En vous remerciant, cher Monsieur, des bonnes paroles de la fin

\-\ CORRESPOMUNCK d'bBRMITE ET DE STIELTJES.

de votre leltre, je peux vous assurer que je tâcherai d'être toujours digne de l'intérêl que vous voulez bien montrer pour votre dévoué.