If ERMITE A STIELTJES

Paris, 32 mars 1889.

Cher Ami,

Je vais risquer une tentative bien hasardeuse pour avoir la valeur asymptotique des coefficients de &(x) et de H(.r), voie! mon point de départ.

La méthode de Laplace pour obtenir la valeur approchée de la série

dont les termes vont d'abord en augmentant jusqu'à un maximum pour décroître ensuite indéfiniment, a été appliquée par lui au cas où la fonction f(n) se compose d'un produit de facteurs élevés à de grandes puissances, et c'est ce qui arrive dans les exemples que j'ai traités. Remplaçons L'entier n par une variable #, l'analyse de Laplace revient simplement à prendre pour valeur approchée de S

l'intégrale / f(x)dx, et à déterminer cette intégrale par la

" 0 méthode donnée dans la théorie des probabilités. La fonction f(x) étant supposée nulle pour x = o, x = ce et avoir un maximum unique pour x = £, on pose

3j8 CORRESPONDANCE d'bBRMITE BT DE STIELTJES.

de sorte que la nouvelle variable / croît de — x ;'i + ce. Dans le cas où f{x) est de la forme [F(.r)]", la valeur de dx s'obtienl sous forme il une série en t, et contenant les puissances successives de -—» ce qui permet d'atteindre une approximation qui

y n augmente quand n croît. En négligeant-—» on trouve la formule

G esl de là simplement que se tire I application si importante à la convergence des séries qui représentent les coordonnées elliptiques et aussi toutes mes applications. \ ous direz que mon audace ne connaît pas de bornes, et je ne vous contredirai certainement point, mais, plutôt que de ne rien faire, je me propose, en partant de l'expression

- t.. m = — ï '- ( S «2 m „aï v /, 2 ntgh

• I évaluer chacun des termes par les intégrales

^ i <r ,->» ,f""- d.r et ^ ( ■>./■ H- l )-'"«/ - ' '%/./■.

traitées comme le fait Laplace. Je prendrai un terme de plus.

j emploierai le terme en— — dans le développement <le <lx. suivant

\ //' les puissances de /, et puis, va comme je le pousse, advienne que

pourra.

Le luxe en côtoyant la misère la rend plus sordide, plus humiliante, je considérerai les séries doubles ^/(m, /?), où la fonction de deux indices croit aussi jusqu'à un maximum pour décroître ensuite, qui s'offrent comme coefficients de xmyn dans les développements des 0 à deux variables.

Et, comme Laplace dans les probabilités a étendu sa méthode

aux intégrales doubles

/ / f{x,y)dxdy,

je prendrai son résultat pour valeur approchée de la série, à l'aventure !

Que pensez-vous, clans voire sens analytique intime, de la tentative?

Votre bien affectueusement dévoué;