STIELTJES I HERMITE

Toulouse, 23 mars 1889.

Cheii Monsieur,

Je veux répondre par quelques mots à votre lettre. Probablement, vous avez vu aussi qu'il n'est (pas) besoin d'aucun calcul prolixe pour évaluer les intégrales

/ (•>..*• )?'"fjr4-'-' dx = 2*'«-i / y" ïe-toydy (a?2 = j),

«Ai • 0

/ (ix-\-\)imq(ïx+i)'- dx = 22'"-1 / y"' -c-'*"ydy

dont la différence est, par conséquent,

2ÎIM-1 / y 2,,-WM,/,.,

cela donnerait donc une destruction bien complète dans la différence

Za-'" qa° — Y>b-mqb*,

mais il paraît bien difficile de dire si l'on peut s'y fier. Cependant, après y avoir regardé de plus près, je relire formellement l'opinion émise précédemment que la destruction des termes dans la différence se bornerait aux termes principaux et, par conséquent,

-r-^ décroîtrait comme — ou — y Am m mk

J'admets maintenant comme probable un contrebalancemei.l des termes d'une manière plus complète, quoique j'hésite cepen-

38û CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJKS.

dant à admettre le résultat

ri »!

Pour savoir avec quelle approximation on peut poser avec vous

ï.a-'" r/"" = / i '.ry^i'q'' ■'' <■/./•,

il semble naturel, en posant

de recourir à la formule d'Euler

= f(x) dx — ~ li I ./'< b) -- f\ a i| * a

en prenant /? = :c, b = yi. a = o, // = i .

\ mis voyez que f{b), f'{b). f'"{b) s'annulent, de même que

Or, | ai remarqué, dans mainte occasion, que si cela arrive el que l'équation d'Euler semblerait ainsi donner l'égalité complète entre la série el l'intégrale, la vraie différence décroit très rapidedement. Comme exemples, je citerai ici le cas de voire fonction R(#), la relation

/H - +e-*î+e-(2*)s+e-i3/')2-!-... =/rë( - h- e *2-t-e **+..

et il v en a encore quelques autres, dont voici la plus simple

LETTRE 18u2. 38

bien

- h v^ li

c'est-à-dire, pour f(x\= ;>

*[^/(o)-h/(A)-t-/(aA)+/«3A)-t-...] =/"^

pour zhoo, /(*/■) s'annule avec loules ses dérivées.

Admettons donc qu'on a d'une manière très approchée, en effet,

v tfim qa* = ! , 2x)imq*x* d.r.

En prenant

la formule d'Euler donnera

ZbZmqbi= f /'( .?• i <Lr 4- ~

niais les termes suivants, avec /'(o), f"f(o), .... renferment des puissances positives de plus en (dus élevées de //?, et le degré d'approximation nous échappe complètement.

Je crois que, pour avoir une solution rigoureuse de la question, il faudra trouver des transformations analytiques, mais cela ne sera pas aisé du tout. On ne sait même pas si *%m est toujours positif; il se pourrait bien que la vraie valeur approchée renferme un terme périodique qui change désigne comme dans la différence

Je crois que l'application aux séries doubles

«pie vous proposez donnera des résultats exacts el est légitime.

38'2 CORRESPONDANCE li'lIKIt MITK El DE STIELTJES.

J'ai plusieurs fois *'■ x ;» 1 1 1 «'■ des intégrales doubles d'après la méthode de Laplace et avec un succès complet.

\ otre bien sincèrement dévoué.