HERMITE I STIELTJES

Paris, >j mars 1 889.

:MOJ CHEK

M. Darboux, à qui j'ai communiqué vos charmantes formules (li développements en fractions continues, en a été aussi enchanté que moi; nous vous prions ii>n> deux de vouloir nous fournir la liste complète avec le> indications des recueils, de toutes vos publications mathématiques, nous aurons à en faire usage. M. Bertrand, j'ai le plaisir de \011s le dire. n'a fait aucune difficulté à l'insertion dan- le> Comptes rendus de votre dernière Note. A os remarques sonl excellentes et désolantes, je me les étais faites déjà en grande partie et. dans ce que je vais écrire, je n'aurai garde de dissimuler lotit ce qu'il y a de hasardeux et d'obscur à prendre pour valeur approchée de la somme

Si ix — 1 >-'"'/ "- ' H :

I intégrale

/ (ix — 1 i'2"' y - ' ' </.'■.

Quel dommage, car le développemenl suivant les puissance descendantes de m que vous ramenez au calcul de

s'obtient très facilement -.1 m -> recourir au procédé de Laplace. On a . eu effel .

. f m m ( ni -+- 1 ; m(m -h i ) ( ni -t- •>. ) /

IVlais voici de bien autres difficultés à l'égard des fonctions 6

LETTRE 18'l. 383

à deux variables. Il s'agit d'obtenir la valeur asymptoiique pour /// cl // très grands de la série double

va2«« 1,1,1 e-\ga* + M«i> + kir-) (a,b = o, 1,2, ...),

question en apparence toute semblable à celle tics <-) elliptiques, or il s'en faul du toui au tout; la fonction de deux variables

où (i?", h, fx) est une forme définie positive, passe par deux maxima ! Par conséquent, tout s'effondre, il devient impossible d'appliquer la méthode de Laplace qui suppose essentiellement un seul el unique maximum.

El, en même temps, voyez comment se révèle la singularité pleine de mystères des fonctions de deux variables. Deux maxima comportent un minimum dans leur intervalle, s'il s'agit des fonctions d'une seule variable; rien de pareil pour deux variables; que peut-on entendre, en effet, par un système/? et q de valeurs intermédiaires entre a el b, a' et b' !

En vous demandant d'avoir la bonté de me rappeler el de me dire où Dirichlet a donné la formule importante dont vous aviez >i habilement tiré une démonstration de l'égalité de M. Lipschitz

je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de tout mon dé- \ ouement.