STIELTJES A H ERMITE
Toulouse, i.j mars 1889.
Cher Monsieur,
La vraie démonstration de mes propositions concernant la décomposition en carres de certaines formes quadratiques est si excessivement simple, qu'il est vraiment humiliant de n'y avoir pas songé tout de suite.
;s', CORRESPONDANCE d'hERMITE ET 1>K STIELTJES.
Je considère les dérivées d'ordre pair àef(x)= séc#, s= lang2,r
if = s«V./-i rt0), f" = séc»l '/) - Aj c '.
i séc»< ^o- A.. 3 — c» ss l,
/' « = séc » ( rt3 -f- 63 c - r, c- ! — d3 z3 ),
sec» = 7 -•
— 1.1... (in)
D'après le théorème <!<■ lavlor
1 , ■ , ■ , , /■ lrl m ,r c
mci x -+- h) -+- sec( » — h) = / — — / -\ — 5— - J • -r ....
nu bien, «mi substituant les valeurs (i), (3) | séci ./• — /( 1 — séci ./■ - h)]
séc» (
séc» |
Mais
- | séci » -4- À) + séc( » — /m|
séc.r séc A séc» séc //
i — tang2» tan g2 // 1 — ; tang2 // = séc» -('c/m 1 — z tan g2 A -+- s- tang4/? - c:i lang6 h
il où, par comparaison avec 1 3 i.
sec/i = c{, - <7(
ec«tang2/i = A, — - A,
séc A tane' h
Co :
D'après cela, en se rappelant que 2 = tang2.r, on voit que le
LETTRE 18k. 385
second membre de ( 3 ) peut s'écrire
f x* .>■• Il h? A- !
+ [ *■ ê, ; + **ïxb ■*-•••]><[ b'Tk+l"x^ï7i -*-••]
+[ •■tï!b+-],<[ c'dx4+--]
tandis que le premier membre est
-Y — —, — d(x-*-hyn+(x-hYni 2 — 1.2... (an) l
soit i -\- A= n, en comparant de part et d'autre le coefficient de x'2th-k, on trouve immédiatement
( 4 ) «n = (lia/- -+- bt b/( -+- Ci c/c 4- • . • et, en particulier,
(5) an = «?+ 6|-+- c?-+-. ... c.q.f.I).
Le théorème sur les dérivées d'ordre impair s'obtient par la considération de
- [séc(a? -t- h) — séc(.r — h)\
et, avec de légères modifications qui se présentent d'elles-mêmes, le même raisonnement s'applique aux autres cas des fonctions
tanga™, sn.r, cn.r, Anx.
Je viens de voir que, dans le Tome 79 du Journal de Creile, M. Stern, dans un Mémoire sur les nombres eulériens, a développé aussi les dérivées de sécr, ( )> en introduisant
11 ' \ ex -+- e^x )
des polynômes en tang2^c, ( — —) • Il a considéré les mêmes
nombres «/, bi, a, ... que moi, mais les relations (4) et (5) lui ont
386 CORRESPONDANCE d'hERHITE ET DE STIELTJES.
échappé. Il se borne à discuter les relations entre les a/, l>i. <•/. . . . qui résultenl du calcul de proche en proche des dérivées, d'où il tire diverses conséquences relatives aux nombres eulériens, etc.
Dans le Tome 88 du même journal, il considère aussi les dérivées de tangue; mais ici. au lieu <l introduire des polynômes en i m- - ./•. il nit nul h il des polynômes en >iii-'.r. C'est là, je suppose, la cause que les résultats <pi il obtient ne présentenl |>as une ;m,ilogie complète avec ceux de ><ui premier Mémoire. S'il avait aussi introduit ici des porj nomes en tau--./-, je ne cloute pas que l'analogie n'eûl été c plète.
Mais, réfléchissant sur l'application aux fonctions elliptiques, je me suis aperçu que, >i. < la us mon cas, on emploie le théorème de l'addition, on pourrait, par une légère modification, déduire ce théorème par des considérations analogues.
Cependant, après avoir ainsi retrouvé le théorème de l'addition, j'ai vu que celte démonstration est exactement celle qu'Eisenstein a donnée (dans ses Mémoires réunis, avec une Préface de Gauss, p. i55-i 58).
Au lieu de recourir à la formule d'Euler, j'ai eu l'idée, pour voir avec quelle approximation on a
\ ,,'-mqa'— ! (•±T)-'nC]>v° (l.r.
V l/lm gb> — i (-2x^1 |î/n (J-'~i: <l.r.
de me servir d'une formule d'Abel (Œuvres, t. I, p. 38),
■: a) hlf(fl-fl) + 5(«+2)+...
f<° ,i r" dt r©(a-t- ti) — v(a — ti)~]
= •-../• i dx tp(a) — 2 / -— - ■ ~ •
La démonstration d'Abel n'a pas Ar rigueur, mais, récemment, j'ai retrouvé cette formule et vu qu'elle est applicable sous certaines conditions. Ces conditions, du reste, je ne me les rappelle l>as distinctement en ce moment.
Dans le premier cas, il y aurait égalité absolue, mais, dans le second cas, on est amené à une intégrale qui n a pas de sens. Tout cela me parait indiquer que le problème de trouver la valeur
asymptotique de
est extrêmement difficile. Dès que j'aurai un peu de loisir, je me propose de voir si, en attribuanl à </ mie valeur fixe, celle expression ne change pas de signe en donnant à m des valeurs «le plus en plus grandes. Cela ne m étonnerait pas, et serait une nouvelle preuve de la difficulté de cette question.
,)e\oiis renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mon entier dévouement.
