HERM1TE A STIELT.IES

Paris, 28 mars 1889 M<>\ cher Ami,

Vous avez le don des démonstrations simples et élégantes, et je ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'analyse (pie vous m'avez communiquée dans votre dernière lettre. J'achèterais bien volontiers, au prix d'une humiliation plus grande que celle que vous exprimez, de trouver de telles choses. Vous vous êtes rencontré avec Eisenstein, qui tenait beaucoup à sa démonstration algébrique du théorème de l'addition des fonctions elliptiques, ainsi qu'il me l'a dit lui-même quand j'ai été le voir à Berlin en i853, et vous n'avez point lieu de regretter une telle circonstance.

Vous vous êtes bien facilement rendu compte, sans doute, de ce que je vous disais, que la fonction

^2//t y2n g — ( g.r2-t- ïhxy+ky*)

a deux maxima, ce à quoi j'étais bien loin de m'attendre, et aucun minimum, ce qui tient à la nature méphistophélique des fonctions de deux variables. Il me faut, par conséquent, renoncer à obtenir la valeur asymptotique que j'avais espéré trouver en opérant sur B(j7, y) comme sur (à(x). J'ai repoussé aussi comme une tentation dangereuse et périlleuse de chercher l'intégrale définie

J=/ / e-^+thxy+W) dxdy, qui aurait donné facilement, en ditlérenliant par rapport aux

388 CORKESPONDANCK D'hERHITE BT DE STIEI.TJES.

constantes, la quantité

/ / ximyîne-lg.r*+*h.r} *y*\ doc dy.

•il

Je m'en tiendrai donc aux applications de la méthode de Laplace que j'avais eue en \ ue tout il abord.

Permettez-moi de rappeler à votre souvenir la fonction Z> s) qui m'a donné occasion de citer vos recherches dans une leçon à la Sorbonne.

M. Jenssen a donné une relation intéressante qui esl indiquée dans le Bulletin de M. Darboux

( .s- — I ) ri s i = i — V i - i |VCv(5 — i)v ( v = 1 , 2, 3, . . . ),

où l'on a

v( log/l)v-1

> ' *-'■ — i \\os(n -+-i)lv-t-(loe/i)v (re = i,a, 3,

Elle n est pas difficile à démontrer, mais je doute qu elle fournisse l'expression définitive de la fonction de liiemann; en tout cas, elle esl utile, l'auteur en ayanl tiré lc> valeurs numériques dc-< premiers coefficients cv, résultai auquel j'attache beaucoup de prix. Permettez-moi, lorsque I occasion s'en présentera pour vous, de vous demander de m'indiquer, au point de vue de l'Arithmétique, la conclusion du Travail de Riemann, qui est en allemand et que je n'ai pu lire. Mais que cela ne vous détourne point de ce que \ous faites en ce moment où vous obtenez chaque jour de nouveaux et excellents résultats: il arrivera certainement que vous vous sentirez recherché par l'Arithmétique et naturellement vous reviendrez à la l'onction Ç(s).

En attendant, mon cher ami. la liste de vos publications, je nous renouvelle l'assurance de mon affectueux attachement.