OX X

(i) —logI< = - — Cix — by — axz = o,

2 dy y

— logF = - — b[X — axy — cz — o.

Ce système, nous le savons, admet au moins une solution (en valeurs positives toujours). Mais, s'il en admet plusieurs, il est clair que ces solutions répondront toujours à de véritables maxima, car la forme quadratique

•2. \ dx se réduit à

-.logFJX*.

Admettons, pour un moment, qu'en dehors de la solution

x = 3?0, y = yo, z = z„, F = M'o,

390 CORRESPONDANCE d'hERHITE ET DE STIELTJES.

M(1 étanl le maximum absolu, il y en ail une

.?■ = .Tj.

<iù M 1 ' M„ est mi second maximum. ( lonsidérons les surfaces

l'i ce, y, z) = consl ..

on plutôt la partie 'le l'espace où I' ./•. r. c ) const.= G. Tant que C>M0j il n'3 a pas de partie réelle de la surface. Faisons décroître constamment C Pour C = M0, nous avons un point isolé x = .r0, y =1,1. ^ = z0. Pour (î = M0 — //. la surface est fermée el enveloppe le point M0. \ mesure que C décroîl ainsi, la partie de l'espace <m'i F >» C s'étend ainsi.

Lorsque C = Al, . la surface se compose :

1" D'une surface fermée enveloppant Mn:

2 D'un point isolé M,(.r,, y,, z{) en dehors de la surlace fermée.

C décroissait toujours, le point M, aussi se trouvera enfermé dans une nouvelle surface fermée et, C continuant à décroître, les deux parties séparées de l'espace où F^C vont nécessairement s'unir en un point I'. Il est clair que, dans ce point P, point sin-

gulier d'une surface F = consl., les équations (1) sont satisfaites. Mais, de plus, ce point I' n'est pas un maximum, car, en se déplaçant d'un côté ou de l'autre, on peut faire croître ou décroître F. .Mais, comme nous a\ons vu que tout point satisfaisant à (1) est nécessairement un maximum, il v a ici contradiction, l'hypothèse d'un second maximum est inadmissible. Donc, à moins qu'il n'y ail un \ ice caché dans ce raisonnement ( et j'avoue que je ne le vois pas I, <>n peut affirmer que la fonction F n'admet qu'un seul maximum pour les valeurs positives des variables, et le même raisonnement s'applique a un plus grand nombre de variables. L'on se

LETTRE 187. 3g I

trouve bien dans les conditions nécessaires pour l'application de la méthode de Laplace.

Il me semble <|iie le raisonnemenl précédenl est exact; cependant, je ne suis pas tout à fait sur et j'espère que vous me ferez part de vos objections, si vous en avez. . ., l'opinion de M. Picard me sérail aussi très précieuse.

J'espère pouvoir vous envoyer dans quelques jours la liste demandée; si je n'ai pas voulu remettre jusque-là à \<>us répondre, c'est à cause de ce que vous m'a\ie/, demandé concernant la formule de Dirichlet.

Votre sincèrement dévoué.