HERM1TE A STIELTJES

Paris, ier avril 1889.

Mok CHER A\n,

J'éprouve bien de la difficulté à suivre les considérations relatives à l'hyperespace, ce sera donc l'avis de Picard et non le mien que vous aurez sur l'idée originale que vous me communiquez pour établir l'existence d'un seul et unique maximum de la fonction

- + - + +. ..-cpO*,^ *,...),

lorsqu'on suppose un nombre quelconque de variables. Dans le cas de l'espace réel et relatif à trois variables, votre raisonnement, contre lequel je n'élève aucune objection, me semble extrêmement ingénieux, et je ne vois guère comment on pourrait s'en passer à moins de se jeter dans un océan de calculs. Pour le cas des équations

— = ax -\- by, — = bx -+- c y,

je crois préférable de joindre à l'ellipse

m -+- n = ax% -+- ibxy -+- cy-, celle-ci qui représente deux droites

an x--\- b(n — m) xy — cm y"1 = o.

392 CORRESPONDANCE IMIKItMlTF. ET DE STIELTJES.

< > 1 1 voit, eu effet, que les droites sonl réelles et que les coefficients angulaires sonl de signes contraires; par conséquent, l'une d'elles se trouve dans les deux régions où les coordonnées sonl de mêmes signes, c'est celle qui donne, par son intersection avec l'ellipse, la solution unique en quantités positives à laquelle correspond le maximum, taudis que l'autre droite se trouve dans les deux angles des coordonnées où elles sonl de signes contraires.

Je me suis aperçu trop tard. hier, que l'intégrale

/ / e-(«-r*H tbxy+cy ■ dx dy

s'obtient immédiatement au moyen du procède' élémentaire qui consiste à poser jr = pcoscp, j^=:psin<p, l'intégration pouvant s'effectuer immédiatement par rapporl à p. Mais, voici nue autre question sur laquelle j'aimerais bien avoir votre a\i>. C'est une application que je pense donner à mon cours de la formule

Ji

dt

A/-+B 2V/\B Soient

A =1 — aa? H- a \fx- — 1 , B = 1 — %x — a \j ' x- — 1 .

ou aura

AB = 1 — %ax -+- a2

et de là peut se conclure l'expression de Jacobi des fonctions X«.

Soit, d abord

ce / = tan»-,

dt 1 f% dy

A sin2 - -H B cos2-i 2 1

dw

( A -+- B ) — ( A — B ) cosi

et, par conséquent,

1 — 2 ax -+- a2 J 1 — a ( x

do

v/i — iux — %- Jn 1 — a ( x -+- s/x2 — 1 cos es ) Voici maintenant mon raisonnement. Supposons x réel et

LETTRE 187. 3g3

moindre que L'unité; j'observe que le module de