ST1ELTJES A HERMITE

Toulouse, 3 avril 1889.

Cher Monsieuk,

Ce n'est pas grand'chose que je peux dire sur votre déduction des intégrales qui représentent \„, mais, puisque vous y tenez, je ferai de mon mieux.

Il me semble qu'après avoir obtenu

1 — HX^r-V.1 J l —

/1 — J.01.X -h a.'1 J 1 — a (a? -+- sj x- — 1 cosep)

3g6 CORRESPONDANCE d'bERMITE ET DE STIELTJES.

il n'est pas nécessaire de faire aucune supposition concernant la

valeur de x el qi pourrait raisonner ;iin>i. Quelle que soit la

valeur de x | réelle ou imaginaire i, on pourra toujours donner au module <l<' oc une valeur tellement petite qu on .lit constamment

mod % \x -+- \/x2 — i cos » ) < i et alors

/ r =7 a"(.r -+- \fx- — r cos«p >"

I — x\x -+- v .r2 — I cos © ) ■* ^

et. par conséquent,

X,t = - / \x -+- ^x- — i coscp)" dv.

Mais, à I égard de cette formule (i), il faut remarquer que, à proprement parler, on doit bien indiquer la valeur du radical ambigu \\ — aaa-' + a-. Quel que soit ./•, la formule est exacte pour a = o en prenant le radical -f-i, et c'est là la raison (pion obtient ( 2 ) sans faire aucune hypothèse relative à x.

Mais supposons ./ réel et supérieur à i ,

x -+- <^x- — i cos o

restera toujours positif et si, maintenant, nous supposons aussi a réel, positif et très grand, \ou> voyez directement que l'intégrale e>i négative; ainsi, au lieu de (i), il faudrait écrire

r71 rf»

\f \ — -2'j.x -^ y.'1 J i — oc(x -t- \/x2 — 1 cos<p)

On suppose a assez grand pour que, constamment,

moda(j -+- \/x'z — i cosep) > i

et, développant alors suivant les puissances descendantes de a, on obtient

J0 [x-t-s/x1 — i co- -

M. lis, si nous avons dû supposer ici X > î . cela tient à la circonstance suivante.

LETTRK 189. 397

Si l'on se place au poinl de \ni' Le | » I m s général, on a (3') X„ = ±ir"

11 J0 (.r + ^-icostp)"^

et il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que La partie réelle de x est positive ou négative. Dans le cas où La partie réelle de x esi nulle, L'intégrale n'a pas de sens. C'est ce que remarque aussi M. Jordan.

Voici comment j'ai cherché à rattacher ce résultat à votre méthode.

D'abord une remarque sur voire pdinl de dépari

rri

dt