B 2 \/AB
J'observe que
. f°° dt
est une fonction uniforme (dans un tel cas, il serait peut-être plus précis de dire bien déterminée) admettant la coupure de o à — 30.
En posant donc
z = r.e'fK
il faut faire varier /• de o à -+- 00, 9 de o à rt it, mais 6 ne doit jamais franchir ces limites db it. Mais, pour B = o, on a
ys étant réel et positif. Donc on aura, à cause de la continuité, généralement
2/4(cos.i 6 -+- i sinjO) En somme, dans la formule
l'argument de \J z varie entre ± -■> c'est-à-dire la partie réelle de \Jz est positive.
898 CORRESPONDANCE D'eERMITE ET l>K SïlELTJES.
^insi, j'écris
dt
A*2-t-B /Tj
et il faut prendre ici le radical l/-. avec un tel signe que la partie réelle >oii positive. De même, dans la formule
1 A — B ; (À — B ) cos tp ^
Si. maintenant, je prends avec von-;
je vais supposer d'abord # quelconque mais moda assez petit pour ([ne B et A soient sensiblement = 1 . alors on obtient la formule (1); le radical étant aussi sensiblement 1 et, de là. la formule (2). Mais il est un peu plus difficile d'obtenir > l ou mieux. (3').
Remarques préliminaires. — Les parties réelles de
A. = p H- qi et de r- = % J
onl même signe.
Donc, le> parties réelles de
; = x — y/.r- — 1 et de £ = x -+- y x- — i
oui même signe et ce signe sera aussi celui de la partie réelle de
et riicore (en supposant co réel) de
a? -t- ya? — 1 c<>s ta = ; sin2 -(f + r cos- o.
On voit par là que x -\- \}x2 — -icosœ ne peut s'annuler (jue lorsque x est purement imaginaire.
LETTRE 1 ÎS1>. 399
Cela étant, je reviens aux formules | {) el (5). Je suppose ./• (| uclci hkj ne, seulemenl pas sur l'axe des V de sorte que sa partie réelle ;iii un signe déterminé qui sera ;uis>i le
signe de la partie réelle de c <■! de = • lin suite, je suppose le module
de a très grand, <lc sorte qu'on ;i sensiblement
et ainsi, dans la formule (4), on a sensiblement
et comme il faut prendre le radical te] que la partie réelle soit positive
où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la partie réelle de x est positive ou négative. Il en sera de même dans toutes les formules suivantes.
Le second membre de (4) est donc sensiblement
si donc y/i — aax + a2 est pris avec un tel signe que ce radical est sensiblement = a (on suppose moda très grand), il vient
1 — '!aj+a2 / 1 — a
v/i — -iaa? -+- a2 / 1 — a.(x -r y/-*'1 — ' coscp)
Nous avons remarqué déjà que x + \/x'2 — reoscp ne s'annule pas; en supposant donc moda suffisamment grand, on aura constamment
moda (a? -1- \/x- — 1 coscp) > 1 .
Il est permis alors de développer, suivant les puissances descendantes de a, ..., ce qui conduit directement à la for-
4oo CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
mule(3')
71 Jo (.r-t-y/a?2 — i cosœ)" '
Je vous demande pardon de ces longues et minutieuses considérations donl le fond se trouve aussi dans le Livre de M. Heine; il n'\ a que de légères différences de forme. Naturellement, on pourrait aussi considérer votre seconde substitution
Si l'on suppose x très petil (pour développer ensuite comme vous suivant les puissances croissantes de a), on a sensiblement
( signe H- ou — , selon le signe de la partie réelle de x) et le second membre de ( {) est sensiblement
doue, ^i \ i — >■ 'J-i: + a- est sensiblement = -f- i , un a
v/i — nj + a- / .
a? H- \/ir'2 — i cos cp — a
et développant suivant les puissances croissantes de a (ce qui est permis, puisque x-\- y'x- — i cosœ ne s'annule pas), on retrouve (3'). Mais je dois terminer cette longue lettre qui aura déjà mis à l'épreuve votre patience.
\ euillez bien toujours me croire votre bien dévoué.
lJ. S. — A l'appui de la demande que je vous ai faite dans ma dernière lettre, je ferai observer que vous avez dû corriger les épreuves de bien des Notes que vous avez présentées en mon nom à l'Académie et que ce ne serait que juste si je vous rends un service analogue.
