II Mil 7/ I S 77 E I. TJES

Fouras (Charente-Inférieure), >'i août i883.

MoNSl El B .

\ (i- Communications sur la propriété arithmétique donl je \<>us avais donné bien succinctement 1 énoncé m onl extrêmemenl intéressé, en ajoutanl encore à 1 estime que m'avail inspirée > otre | > « '■ m '■ tration el votre beau talent en Analyse. Je n'ai point sui\i tout à

laii la \ que vous avez découverte, et, toul en arrivanl au même

résultat, j \ ai été conduit par une autre méthode. Je m étais proposé, Monsieur, d'entrer avec vous dans des développements étendus sur ce sujet, et c'est dans cette espérance que j'ai ajourné ma réponse à votre dernière lettre; mais un état d'indisposition m'a contraint de mettre les vacances à profit, non pour travailler comme je l'aurais voulu, mais pour prendre le repos dontj avais besoin. En attendant que je me remette à I'oua rage, permettez-moi cependant de vous élire, en peu de mots, comment j'ai été amené au\ décompositions d'un entier en cinq carrés. Dans le principe, je n avais en vue que les formes quadratiques de déterminant négatif et, en désignant par F (D) le nom lire des classes de déterminant — D, j'avais voulu tenter la recherche <le la valeur, pour D

très grand, de — r— - — • Mais mes enorts n ont pas

eu «le succès, ei je n'en retiens que la formule suivante dont j'ai donné communication à M. Rronecker, il y a quelque temps. Soit D= \n — i, et désignant par I (D) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — D, on a

Fi I Fi 7)+...+ F(4»-i)

2 v 4- 1 h — les diverses sommes étant prises en supposant v o. 1. ■>. jus-

<iu'à ce que les quantités sons le signe E, assujetties à la condition d'être positives, deviennent moindres que l'unité.

Cette expression de la fonction sommatoire de F(D) ne m ayant point servi pour l'objet que j'avais en vue, j'ai cherché dans le voisinage. J'ai supposé n impair et considéré les décompositions d'un entier en trois carrés impairs, puis m trois carrés quelconques, puis en cinq. C'est alors que j'ai entrevu, comme consolation de mon insuccès, quelques remarques qui ne m,' ont point pain sans intérêt, et, m ce qui concerne la décomposition en cinq carrés impairs, l'introduction d'une fonction numérique qui s'offre tout naturellemenl <i d'elle-même. Cette fonction est la somme <l<> diviseurs o d'un nombre impair, tels qu'en faisant // = oo', on ait S h; o' mo<l { el o.<.!o'. La fonction correspondante au cas de la décomposition en trois carrés impairs est la somme des diviseurs tels que l'on ait 8<28'. Mais ces recherches demandent plus d'efforts que je ne puis en faire en ce moment, et je dois, en me proposant de vous communiquer mes résultats, attendit' que j'aie repris courage à l'ouvrage, afin de ne point m'exposera vous envoyer encore des formules inexactes.

Je pense aussi, Monsieur, à vos belles recherches sur le développement en fraction continue de l'intégrale de TcliebichefF et de Heine, et, comme l'Algèbre est chose plus facile que l'Arithmétique, j'ai vu, sans avoir à travailler pour cela, ce que sans doute vous avez remarqué vous-même : qu'on a sous la même forme le numérateur et le dénominateur des réduites de (x — <7)a(# — b)? où y. -+- [3 = un entier k. Supposons k positif; dans une réduite de

rang quelconque — , A se détermine en posant

D" [O — «)"+a O — b )»+P ] = (x — a)*(x — b y \ . et B par la relation semblable

D£+*[(3r — a)«+*-a(a? 6)*+A-p] (^rt)-a(.r 6)-PB;

et, en écrivant ceci, il me semble voir que le résultat subsiste, que k soit positif ou négatif.

Je dois, dans quelques jours, partir pour la Bretagne, d'où j espère pouvoir vous écrire en traitant les questions plus à fond qu'aujourd'hui; veuillez en attendant, Monsieur, recevoir l'expression

de mes sentiments de bien sincère sympathie et l'assurance de ma plus haute estime.

HER MITE I STIELTJES.

Paris, 6 octobre i883.

Monsiet i; .

\ i»n recherches sur l'évaluation approchée des intégrales I ' » ont été présentées à la dernière séance de I Vcadémie et paraîtront dans les( 'omptes ri- m lu s de cette séance. Mais, votre rédaction dépassant en étendue la I uni le réglementaire de trois pages d impression, j'ai * dû la diviser en deux parties, de sorte que la fin de votre Note paraîtra seulement dans les Comptes rend a s de la prochaine semaine.

Permettez-moi, Monsieur, de profiter de celle occasion pour rectifier l'erreur ( - \ que vous avez reconnue et signalée dans I énoncé de ma formule, concernant le nombre des solutions de l'équation ./ - ■+- y2 + z- + l- -f- u'2 = n. Si l'on désigne ce nombre par f\ n >, la somme f{\) -hf(i) -4-. . .-\-/(n) = F(w) s'obtienl comme il suit :

Désignons par a les entiers impairs i, 3, > et par c et c'

les entiers quelconques i. 2,3,...; on a

F(») = 2E (/«) + 82[ a E (f)) + 2CE, (fy

— i6 7 \ n E\yn — a c I — •>. i'— i \c' cE(\ n — > ce )] • Dans cette expression, E(#) est l'entier contenu dans ,r.

E, i ce) = E ( ./• h — j — E (x) = E(:>,x) — -).\i{x),

de sorte qu'on a toujours E,(o:) = o ou = i , suivant que la différence entre x et le (dus grand entier qui y est contenu est inféneure a-> ou bien égale ou supérieure a -•

\ oiei, dans cet ordre de recherches, les formules que je viens d'obtenir, pour le nombre des solutions de l'équation x2-\-y2= n. En

(') Les recherches présentées à l'Académie et mentionnées au début de cette lettre sont celles dont il est question dans la lettre 13.

(') La formule rectiliée est la seconde formule de la lettre 14.

désignant ce nombre par f(n), vous savez qu'Eisenstein ;i donné, le premier, pour la somme /(i) +/(2) + • • • +/('*) — '' "( " '• celle expression bien remarquable :

J'ai remarqué qu'en posanl

on a aussi

F {n ) = 4 ( S -+- Sj — X sin2 —

J'obtiens encore pour la somme suivante,

/( i ) +/( 2 . 5 ) -+-/( 2 .<))+••• + ./'( 2 n ), OÙ /? = i , mod 4? l'expression que voici :

en désignant par [i. l'entier impair immédiatement au-dessous de \Jn ou égal à y//?.

Je me ferai, Monsieur, un plaisir, quand je publierai ces résultats, de donner la méthode si élégante que vous m'avez communiquée au sujet de la décomposition en cinq carrés impairs des nombres = 5 mod 8, en insérant dans mon travail la lettre que vous m'avez adressée sur cette question. Veuillez, en attendant, recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.

Monj