STIELTJES A HE H MI TE

Leydc, io octobre i8S3.

Vous m'avez fait un très grand plaisir en m'écrivant votre dernière lettre, et encore une fois vous m'avez fait votre débiteur en

CORRESPONDANCE li'llll! Mil E ET DE STIELTJES.

présentanl mon travail à L'Académie. Nous ne dites rien de votre santé : j'espère bien sincèremenl qu'elle soil complètement rétablie. Maintenant que j'ai sous mes yeux votre formule pour

je vois bien que seulemenl quelques légères erreurs «I écriture dans votre premier énoncé m'avaienl empêché de la bien comprendre. \li ;s efforts pour découvrir ces erreurs moi-même oui éié inutiles. Voici comment j'avais tâché de retrouver votre formule :

Le nombre des représentations de /> par or2H-^2 + s2 -H t2 e>t

où je désigne par £•'(«) La somme des diviseurs impairs de n. C'est ce qu'on peut déduire de la dernière foi-mule des Fundamenta nova (GE livres de Jacobi, t. I. p. 23o,)

mn^

\ L'aide de ce résultat, on trouve facilement

J\n)= \(>{g'(n)^--±g'(n — i2)-f- 2^'(n — tf)-h-2g' (n — 32)-f- ...|

+(i)"8[^'(n)-2^'(ft— i*) + 2^'(n — a*)-t-2S-'(n-3*H ...],

«m d faut continuer les séries jusqu'à ce que les arguments deviennent négatifs. Si n est un carré, il faut prendre £''(0) = — • Partant de celte expression, on trouve, pour

±3g'(n-3)-T-5g'ui — 6)

(Pour avoir P, prendre le signe supérieur ; pour Q, le signe inférieur).

.1 avais pensé, par analogie à ce qui se passait dans le cas de la décomposition d'un nombre 8Â -h 5 en 5 carrés impairs, que cette

LETTRE 20. il

formule résulterait aussi, par une transformation facile, de celle que vous avez donnée. Mais en hïcliani de transformer votre formule je n'ai point vu se confirmer celle prévision, de sorte que j<' n'ai point trouvé une méthode pour arrivera votre formule. Cependant je n'ai pas encore pu faire le calculavec le soin nécessaire etje me propose d'y revenir.

Comme je trouve toujours un plaisir à accompagner des recherches abstraites par des calculs numériques, j'ai élé \ ivemenl frappé par l;i transformation que vous m'avez indiquée de celle expression

Votre transformation, en effet, permet de calculer celte somme pour des valeurs de n pour lesquelles le calcul direct sérail rebutant, quoique je vois bien qu'on ne doit point envisager cette transformation seulement sous ce point de vue. En effet, je me rappelle d'avoir vu dans le second Volume des Œuvres de Gauss ( ' ) d'autres formules encore plus faciles pour ce calcul, déduites de cette considération que

■-«[■GHGMï)--]

est le nombre des points dont les deux coordonnées rectangulaires x, y sont des nombres entiers, situés à l'intérieur d'un cercle décrit

de l'origine avec le rayon \Jn.

Quoi qu'il en soit, j'ai voulu appliquer votre transformation à d'autres cas pour en bien comprendre le sens. J'ai considéré à cet effet le nombre /(n) des représentations de n par x- -+- iy- ; on a

où c/,, d3, d5, cl-, signifient les nombres des diviseurs de n qui sont compris dans les formes 8 À • -f- i, 8 A: -f- 3, 8k + 5, 8 A ■ -f- 7. C'est ce que j'ai trouvé par la considération du développement de

,fi*+-ir--

(') Cf. Gauss, Werke, t. II, p. 270, 279, 292.

CORRESPONDANCE d'hERMITE ET W. STIELTJES.

mi en conclul /(i)+/(2)+/(3)+... + /(n)

En faisant usage d'une transformation analogue à celle que vous avez donnée, j'obtiens les formules suivantes :

Soil sol ' i une fonction numérique définie pour des valeurs entières de x par

?(4* + *)=*. , , . . wa:

m !./•) = isin2 — — ( ' |,

c'est-à-dire œ(#) esi égale ;'■ La somme des ./■ premiers termes delà série

l'osons maintenant

zhE

alors

Il est évident que i -h/(i) +/(2) +. . .-{-/(n) est égal au nombre des points à coordonnées rectangulaires entières situés à

l'intérieur d'une ellipse dont les demi-axes sont égaux à \fn et i/-*

L'aire de celle ellipse étant — > ce sera l'expression approchée

( ' ) La formule o{x) = i sin- -^- a été ajoutée par Mermitc.

LETTRE 21. 3c

de /(i) + f {'-'■) 4-- • ■ + /(" ) pour n très grand. On en déduit JL , / £ . i j i £ 1

Je lie vois pas encore la raison de celle autre formule <|ne VOUS m'avez communiquée, mais je veux y penser.

Ces derniers mois ne m'ont point été favorables pour les élu» les. . . je vais quitter L'observatoire vers la fin de ce mois el je suis maintenant chargé provisoirement, pendant la maladie d'un des proie-, senrs (' ), de leçons de Géométrie anal \ i ique el descriptive à L'Ecole

Polytechnique de Delft J'aurais cependant à dire quelque chose

sur les intégrales définies, mais je dois finir cette lettre déjà trop longue.

Croyez-moi toujours votre très reconnaissant.