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Ce n'est pas tout à lait une inadvertance niais peut s'en faut; en tout cas, c'est une négligence que de n'avoir pas fail attention que, dans la formule de Laplace,

■■>=Lfi-

do

cos© y/ x'1 — 1)"

le second membre doit être pris tantôt avec le signe -(-, comme je l'écris, et tantôt avec le signe — , ce dont Laplace s'est, je crois, peu inquiété. La méthode tirée de la considération de l'intégrale définie

Ç °° rit t.

me semble rendre bien compte de cette circonstance. Revenant, en effet, à l'expression pins générale

r+x dt

J x G*»+aH*H-K'

où G, H, K. sont des constantes réelles on imaginaires et représentons les racines du dénominateur par

— H ■+- i /GK — H* — H — i /GK — H*

z0-— — , Zl-— —x-

Si l'on admet que dans z0 le coefficient de i soit positif, on a la valeur

~ A («0 — «1 ) t/GK — H9- ' tandis qu'il faut prendre

v/GK - H 2

si le coefficient de i dans cette même quantité est négatif. C'est, en effet, la conséquence de l'expression générale de l'intégrale

/ f(t)dt par a/-ï. où ï est la somme fies résidus de f(t)

pour les seuls pôles < j n i soient au-dessus de L'axe des abscisses. En appliquant cette règle an cas particulier de

dt -

Ar2 + B

v/AB

où A = x — a — \x- — i . B = x — a + y/x2 — i : vous voyez qu'il faut prendre, dans le second membre, le signe 4- on le signe — , suivant que le coefficient de i dans

*Vi

esl positif ou négatif, ou encore suivant que la partie réelle de

est positive ou négative.

Cela posé, j'envisage le cas de x infinimenl petit, puisque je dois faire le développement, suivant les puissances croissantes

de a, de

./■ — cosœ \ x- — i — a Il suffit alors de considérer la partie réelle de -—= ou

encore de X + sjx- — i . Soit donc

./• — iy — \A x -+- iy r- — r = X -t- i Y.

L'équation \ — o donnera la limite de séparation des régions du plan où X est positif de celles où X est négatif. Or, on a

X = ix — \/(x -t- iy )- — i -i- /(.r — iy i'2 — [

et l'équation

2 x -+■ \/{x -+- iy i- i -h \/( .r — iy )- — i = o

se réduit, en faisant disparaître les radicaux, simplement à x = o. C'est la conclusion donnée par M. Jordan; mais qu'il est peu

agréable et |>eu honorable de faire disparaître les radicaux comme font les derniers des (''colins! En tout cas, La remarque est, je crois, à faire dans mon premier ou mon second volume.

En attendant votre avis, croyez toujours, mon cher ami, à mon bien sincère attachement.

M. Sonine, professeur à Varsovie, ;i trouvé une forme nouvelle du reste pour la formule sommatoire d'Euler et celle de Stirling.

Dans celle dernière, au lieu du terme complémentaire

il obtient

,n{-in — ii .r1" ■'

> m >.n — i) {ce -h 0)2"-1

\ ous verrez son article dans les Comptes rendus de la prochaine séance.