STIELTJES A HE R MITE

Toulouse, 5 avril 1889.

Cher Monsieur,

Je ne peux assez vous exprimer le plaisir que vous me faites en acceptant mon offre de vous aider à la correction des épreuves dune seconde édition de votre Cours, et je ne pourrai m'occuper plus utilement pendant les vacances, car les terribles chaleurs, à Toulouse, ne permettent point un travail un peu difficile.

C'est vous qui m'avez appris quelque chose sur les intégrales X„ ; sachant ce qu'a fait là-dessus M. Heine, je n'ai pas pensé à faire mieux; votre méthode à lever l'ambiguïté du radical dans la formule / - — r =r me semble bien préférable. La seule chose dans

ma lettre qui pourra vous avoir été agréable c'est la méthode simple (de M. Heine) de reconnaître que les parties réelles de

ont toujours même signe et s'évanouissent simultanément.

\n\ CORRESPONDANCE d'hKRMITE KT DE STIELTJES.

\ \ rai dire, je ne s;n> pas si ce que je vous ai écrit sur I intégrale

III er-*tdxdy

a été rédigé avec assez de soin pour être imprimé. Si vous croyez qu'il suit préférable < j 1 1 < • je refasse une uouvelle rédaction, je mus tout disposé à la faire.

L'expression «In reste de la formule de Stirling de M. Sonine est bien jolie. Il y a quelque temps, j'ai trouvé une démonstration (pour ainsi dire s\ nt lié tique) de la l< >i ni n le

h >g l' i a l — ( a ) log a — a + - log! lit) -4- J (a

(jui me semble assez curieuse, étanl fondée sur votre notion de coupure dune intégrale définie el votre formule pour la différence des valeur- d'une intégrale définie aux deux bords de la coupure. Mais, comme cela se rapproche un peu des recherches de M. Bourguet, je ne veux pas publier a vanl lui.... \ussi. la détermination de la constante - logl •>.- > qui figure dans la formule s'obtient plu> royalement dans ma méthode que d ordinaire.

\\ant rédigé à peu près cela cl sachant que vous donnez dans votre cours la théorie de la fonction l\ je vous offre ce que j'avais écrit là-dessus, ce qui, bien entendu, ne vous oblige nullement à le lire ni à me le renvoyer; vous pourrez détruire ce manuscrit, car je ne songe nullement à le publier.

Je suis toujours entièrement abîmé dans mes fractions continues.

Mais ne faudrait-il pas publier en même temps dans le Bulletin votre premier calcul de

/ / e-(rt*M-26.>r+cyS| dxdy

par un développement en série. C'est là une méthode, peut-être moins simple que de poser ./ =pcos'J. y— osinO, comme vous l'avez remarqué..., mais elle pourrait bien s'appliquer à d'autres cas.... C'esl ce que je dois laisser à votre jugement, .le joins seulement la lettre qui contient votre calcul.

En \ous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma vive grati-

tude pour avoir bien voulu accepter mon offre, je suis toujours \ ni ic très dé\ oué.