STIELTJES A HE H MITE

Toulouse, 22 avril 1889.

Cheii Monsieur,

Vous avez parfaitement raison, parmi quelques Mémoires de M. Catalan, que je possède grâce à l'obligeance de l'auteur, se trouve un article Sur les nombres de Segner. M. Catalan désigne par Tn le nombre de manières dont un polygone convexe de n côtés peut être décomposé en triangles au moyen de ses diagonale-. L'on a T.-, = 2. Ts = 5. Tc= 1 \. ..., ce sont précisément

les valeurs tic Â.2j A:î, A-,, ..., el il doit y avoir lu -dessus des articles dans les Tomes III etTV(ire série) du Journalde Liouville. Je reviens un instant sur mes formules

(I) ) ) A/+/,.X/X,,. =c»(«o,ii^o+«o,iX1+a(),2X2+...)'-

-+- (•„f1c.,(aMXI+ ai]2X2-4-. . . i-

-I- C0 Ct C-i C.t Ci ( (7.,,, \ o -I- . . . I-

(II) 22A''+X'+lX/X/,'= coCi(/>o,oXo+6o,iX,H- 60,îX2-H. . .)*

h- c0clc2c3(6i)1 X,-t- 6i,2X2-t-. . .)2

pour remarquer que leur vérification est, pour ainsi dire, immédiate.

En effet, supposons que, par le développement des seconds membres, on obtienne

22a'.*x*x* et 22PaXi"XA'

je dis d'abord que l'on a

En effet,

*/, /«-m = Co#o,j«o,/.-m ■+■ CoCi^a^j-a^A+i-l-. . . . ?/,/. = c0 c, è0,j60, a- H- c0 ci c2c3 6, ,,-6i,a- -f- ...

mais les lois de récurrence sont

6o,«= «0,«+ C2Oi,n, &i,» = «i,«-+- c4a2)W,

O, „ = Cl-ii, -H Ci; rt:ji„,

et

«1,/j-m = 60,rt-+- c3 /;,,„,

a2i„ , i = A,,,, -+- cg62)„,

1 l S CORRESPONDANCE D'iIERMITK ET DE STIBLTJES.

Exprimons donc les a0 *+l |>;h' les //t,^ et les b0 t par les a0 /, ... r on aura

k/,*+i = c0a0,«(ci6o,A-) -+- CoC1c2ai,»(èo)A-+- Cj^i.â)

-+- c0 C^Cjr, Ci a2j( bu/c-h C-ab.2J;) ■+-.-..,

P/.A = c0Cibo^(a0liH- c2aui) -+- c0CiC2c36l,A(ai),-l- c4a2,,)

H- CoC^oCaCiCj^;,,/,! «2,, -H c6a3,,-) -t-. . . .

L'identité de ces expressions est manifeste. Il esl clair qu'on a pour la même raison

d'où il est facile de conclure que l'on a généralement

lorsque

On voit par là qu'il existe effectivement une série de quantités

qui satisfont identiquement aux relations (I) et (II).

Ce point établi, on connaît aussi les valeurs des déterminants

et l'on en conclut que la série

donne la fraction continue

LETTHE 196 .4 19

Vous voyez que celte vérification est bien simple, m;iis j'ai été conduit ù ces formules par l'examen attentif de certains cas particuliers, principalement ceux que j'ai indiqués dans les Comptes icn dus dernièrement.

Mais je vais montrer maintenant que l'on peut se dispenser de considérer La forme quadratique

22A/+/,'+iX'X/"

à condition d'écrire La fraction continue sous une forme Légèrement modifiée.

On a, en effet, aussi

à.q A[ Ag ^ ^ Ço