H El! \llïi: I STIELTJES

Flanville, 25 avril 1889.

Mo\ CU Kl! A. Vil,

Il me semble qu'il n'y ait plus rien à ajouter au dernier théorème que vous m'avez communiqué; 1 identité

^A,-+tX,X,,= £0(X -j-a1X,-H...)2+s1(X1-i-p2X2^...)2-^...)

d'où \ ous concluez

Am) Ai A2 eq

x -r1 x:< s, :en

X ■- fS2 — «!-!-..

constitue un résultat définitii et que je juge le couronnement de vos recherches. Ce n'est point du premier coup que vous y êtes parvenu, mais vous n'avez pas à regretter vos efforts; il 11 y a certainement rien dans les nombreux travaux dont les fractions continues ont été le sujet, de notre temps, qui approche de votre beau théorème. Le point de vue sous lequel nous vous êtes placé est entièrement nouveau et, quand j ai, autrefois, touché à la question eu m'occupant du théorème de Sturm, c'est d'un autre côté que je me suis dirigé, comme vous allez voir, par la remarque suivante, qui esl d'ailleurs >au^ portée. \ ous savez qu'en posant

si l'on envisage la forme quadratique

F = — — (X -+- aY-h. . .)«H l—r ( X - 6Y + . .)* + . . .,

LETTRE lî>7

qui esl une fonction symétrique des racines, !<■ nombre des carrés rsi égal ;m aômbre des racines réelles moindres que .r, augmenté du nombre des couples «les racines imaginaires, lu si Ton pose

F = V A,-,/ X, \/, (i, /> = 0, 1 , i, ...), Ai)A= A/,.,,-,

les coefficients de ces carrés sont lu suite des déterminants

Aq.O y-' -^1

Généralisons en remplaçant la forme F par celle-ci

— ■ ( X -+- aV -h . . . )■- H r (X ■+- 6Y-+- ... )2 H- ... - ft>

el soit

AB(a- by-

Ao,

V, yi ABG(a-6)Mff.-c)2(6-c)2 V ~ ^ (x — a){x — b)(x — c)

J'observerai que les quantités A0, A,, A.,, ... ne changent point en remplaçant dans <t> l'indéterminée X par

ce qui donne la transformée A

Cela posé, soit

Vous voyez ensuite que tous les autres coefficients sont des. polynômes entiers en x, et de l'expression sous forme de cléter-

I • ' minant

CORRESPONDANCE I) HK.R>IITE ET DR STIEI.TJES.

Pu,.

Pl,0 ''l.l

■<».;' • 1 Pl.l-Hi

'/ • 1,0 * l-Hl,

résulte qu'on peut écrire, en désignanl par G et H des polynômes

entiers,

c'est-à-dire

Y=GV'

V,= GV,

Mais peut-être \ audrait-il mieux employer, au lieu de la forme 0, cette autre transformée de #, pour laquelle les quantités A, sont les mêmes que dans F,

7 — ■ rX-H(ar — a i\'-h (x — a )2Z -H. . . ]-.

Les coefficients s'expriment alors parles sommes des puissances

\\.r — a )"' = S,,.r'" — mx S, a-'»-1 -+- />/2S2.r"' ■* —

Encore un mot au sujet de l'intégrale / f(x)dx et de la

méthode de Laplace, qui consiste à poser f(x) = f(a)e~r' lorsque f{x) n'a qu'un seul maximum pour x = a.

En posant F(x) = i / log'-j- — , cette équation devient F(#) = t,

avec la condition de x = a pour / = o. Ne convient-il pas de remarquer que la valeur de x sous forme de série en t se tire de la formule de Lagrange pour la résolution de l'équation x = a-\- t '-d(x),

- •> lorsqu'on fait, après la dinerentiation, — i . i . . . n ' l

x = a? Il suffit, en effet, de poser — =F(x) pour obtenir la

proposée.

En vous informant que je serai de retour à Paris dimanche, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mon bien affectueux attachement.

LETTRE lï)H. 4^3