HERMITE A STIELTJES

Paris, 1") 111.11 1889.

Monsieur,

Les noies que vous m'avez confiées sur les intégrales eulériennes contiennent celle équation

Seriez-vous assez, bon pour me dire si elle vous appartient? Je remarque qu'ayant

r Ve '■' ■ — <■■> logr(a) =j^ e,, -(«-ije-'j

il.r

on en <'<>i

iclul

L ea — i

Joignant à celle équation la suivante

i . / ' / eax — ex \ dx - loga = / —

loi

cl retranchant membre à membre, il vient

r(a-t-|) i, /'° / \ e«*rfar

loga = / /

;2 eax dx

loga = / /

formule dont se conclut votre développement, Une remarque maintenant; on a

donc

ix e1- -+- e cos — =

puis, en prenant la dérivée logarithmique

x--\- rn'n-

e- -+- e - Changeons encore x en - et l'on aura

i e- — i Tx ~£

^à a?2-+- j /n'2Tz'2

ce qui nous conduit à la nouvelle expression

,0 4eaxdx

^i C t\e"x dx £à J .r- -+- 4 /n- 7T2

I'1' CORRESPONDANCE DHKRMIii; ET l>K STJELTJES.

... ■ini-'z . .

>oii maintenant x = — • on trouve ainsi

^ r aeim™. <l\ i r Sa d\

en posanl Or on a

-[log(i -+- e-rt) — log(i — e2*? )].

Votre série a «lune le même caractère analytique que celle de Stirling; en l'arrêtant à un terme de rang quelconque, le reste est moindre que le terme suivant; mais vous aurez sans doute déjà \u tout cela.

En vous renouvelant, mon cher ami, 1 assurance de mon affectueux attachement.