STIELTJES A H ERMITE
Toulouse, 16 mai 1S89.
Chek Monsieur,
Je ne me rappelle pas avoir vu quelque part explicitement lu
formule
loe — = - log a — ... ;
cependant on ne peut pas, à proprement dire, la considérer comme nouvelle, puisqu'elle résulte immédiatement, en retranchant les formules (09) et (58) du Mémoire de Gauss Sur la série hypergéométrique {Œuvres, t. III, p. i5>. ). car
l°gJ]Y*- ;) =iogr^-»-iJ, logJJ(i5)=logr(Z)H-logz.
Mais je considère cette formule sous un autre point de vue. Soit b un entier positif, on a
log r ( a -\-b ) — log Y ( a ) = loga(a -+- 1) ... (a ■+- b — 1)
= b loga -+- 2, I°§ \ l ~ ) '>
donc en développant suivant les puissances descendantes de a, el en introduisant les fonctions de Bernoulli (j'adopte la notation de M. Jordan, t. Il, |>. 1 02),
( A ) log
»i(6) tpî(ô) i.2.tp3(6) 1 . ■>.. >.-fi ( l> )
= O lOil </ -+- - — f- ;
J'ai supposé ici b entier el positif, mais en ayant recours aux intégrales définies qui représentent logT(«+ b) et logT(a) \011s verrez aisément que le développement ... est valable sans cette restriction. Toujours est-il remarquable (pie, lorsque h est entier (positif ou négatif), la série est convergente lorsque a est suffisamment grand; ainsi la déduction précédente montre bien (pie pour b entier positif la série est convergente tant que a >• b — 1. Lorsque b n'est pas entier la série est divergente quelle que soit
la valeur de a, comme cela arrive, par exemple, pour b = - ... ce
qui donne précisément le eas particulier mentionné plus haut. Vous voyez que cette supposition, b entier positif, fournit un moyen simple pour retrouver la formule.
On
généralement
loar —.
ce qu'on pourrait trouver aussi directement en supposant encore 6 entier et positif.
La combinaison de (A) et (B) . . . donne
= Mogq 1 ?l(6) l I-J-CP3(^) [ i.2.3.4.y5(fe) | ^ •2 r/ a3 a5
j38 CORRESPONDANCE D HK.HMITK Eï DE STIBLTJES.
Supposons maintenant o<6<] D'après les propriétés
connues des fonctions o vous verrez que dans ces séries i C) et (D) les termes sont alternativement + et — et elles ont même caractère que la série de Stirling; en s'arrêtant à un terme quelconque l'erreur est moindre que le dernier terme.
Si nous introduisez le> intégrales définies pour logr, \<>u> trouverez, en développant, les formules par intégrales définies des fonctions de Bernoulli dont vous avez traité dans le Journal de Crelle{<).
Les séries (C) et (D) ne donnent pas de fractions continues simples, mais les séries obtenues en prenant les dérivées par rapport à a donnent des fractions continues élégantes. Pour les
écrire sous leur l'orme la plus simple, je remplace (t par ->
b oar ? donc ï — b par Vlors on a
, / a -+■ ï -I- b \ , l a -+- 1 — b \ ib
22(22— A2) 3» Ci*— b"-)
(•2/? -t- Ij«2-f-. .
Si dans (D') on suppose b entier, ou dans (C) b entier impair, on retombe sur de simples identités algébriques, car d'une part les
fiai lions continues se terminent brusquement, et d'autre part les
(') Ce que je dis ici se rapporte aux formules analogues à la formule de Schaar dont je vais parler à la fin de ma lettre.
lettre 206. i3g
premiers membres, en vertu de
sont aussi des fractions rationnelles. Cette circonstance me fail soupçonner que ces fractions continues représentent toujours, en supposant, a et h réels, les premiers membres, mais je ne l'ai démontre rigoureusement qu'en supposant — [<6 + i. Mais ce qui résulte surtout de mon travail c'est la parfaite justesse de votre idée de faire dépendre les propriétés des fonctions de Bernoulh de leurs expressions par les intégrales définies.
Je dois ajouter que pour discuter ... les séries ..., il semble indiqué de recourir à des formules intégrales analogues à la formule de Sckaar dans le cas de la série de Stirling. C'est
ce qu'on peut faire dans le cas de log ^^ * > ainsi par exemple
<\>(x-\ hM — 4* ( x ^ b)
du e-27t« si n ( 2 6 ir )
Dans le cas de la fonction logT il doit y avoir sous le
signe / ? je crois, un log, mais le temps me manque en ce moment
pour chercher la formule, voulant vous faire parvenir cette lettre aussitôt que possible, à cause des Mémoires indiqués de M",e de K. sur lesquels vous voudrez demander peut-être l'avis de quelques personnes plus compétentes.
Veuillez aussi, pour cette raison, m'excuser .... Je vois bien que j'ai écrit une lettre un peu embrouillée. Croyez-moi toujours votre très dévoué.
