STIELTJES A HERMITE
l'i m louse, 12 juin 1 88g CfciEK Mon su. i r,
\ mis considérez, sans doute, connue I un des résultats les plus importants de la théorie de la fonction T ce théorème dû à
(') Note des éditeurs. — Ceite lettre n'est pas datée et nous avons beaucoup hésité à la mettre à la place qu'elle occupe, en la rapportant au lundi io juin 1889.
M. Weierstrass, une ., — est une fonction liolomorplie dans tout
le plan.
actuellement, ce théorème s'obtienl presque immédiatemenl si l'on prend pour poinl de dépari le produit infini de Gauss <i d'Kuler. Mais, comment faut-il l'obtenir en prenant pour définition l'intégrale définie
l'(«) = / ,r'-'r '• il.r 'l •i,
Si, avec M. Prym, on pose d'abord
P(a)= / x"-^e ■' tl.r. Q(«) = / *"-*,• ',/./'.
on obtient
ez a -+- i i . •>, i a -f- 2 ) i . 2 . 3 ( a -+- 3 )
cl l'on en conclut que V(a) est une fonction uniforme qui admel seulement les pôles simples o, — i , — 2, . . . . C'est là certainement déjà un résultat notable, mais cela ne suffit pas encore pour obtenir le théorème de M. Weierstrass.
Dans ce but, il faudrait démontrer encore que Y (a) ne s'annule pou?' aucune va/eu?- finie de a. Ce point établi on pourrait conclure immédiatement que i '.T(a) est une fonction entière, mai> comment le faire?
Il est vrai qu'on peut tirer ce résultat, que V{a) ne s'annule pas, de la relation
(i) IV) r(i — a) = 7^—
et, comme l'a fait remarquer M. Bourguet, cette formule montre aussi directement que
I sitlTTC?
est une fonction entière. Mais en prenant pour poinl de départ l'intégrale définie, la démonstration de cette relation (i) est assez difficile.
J'ai été amené ainsi à chercher si l'on ne pourrait pas tirer
|ti> CORRESPONDANCE d'hKRMITE KT DE STIELTJES.
directemenl de la définition
l'irti- / e~xxa ' dx,
la conclusion que \\ a > ne s'annule pas. tanl que a reste fini. Je remarque d'abord qu«- si I on avail
r i « I = o pour a = a -+- pi,
on aurait aussi
ci. évidemment, p ne peut pas être nul. ensuite avant
/ t(i~ ' e- •*■ dx = o ,
' ci
on aura aussi
/ xa~y e kx dx = o,
/r étant un nombre positif quelconque, donc pour <? = a -+- fit / xa- ' cosi p Ioga? ic/ra; cfcc = o,
Ji a?a 1 sin ( 3 logœ le-** ûfcr = o, o
et ces relations doivent rester vraies en remplaçant a par a + // étant un entier positif quelconque. Je pose maintenant
' ' ' = I I v ' — xe ' ' o
C'est là une fonction entière qu'on peut développer
•.ii./- 1 = 7 cn '"' o cl l'on devra avoir maintenant
/ a?«- l<p(x) sin((3 \ogx)e~kx dx = o,
OC
car en remplaçant o(x) parN r„./" tous les termes sont nuls. De
même, il faudrait avoir
/ x*+n-l<p(x) sin(3 loga?)e kx dx = o,
// étant un entier positif quelconque. Mais cela peul s'écrire
(A» / a?«-|-"-1ç(a?) sin(j3Ioga?)e-**</a7
-+- / .ra+"-'<f ( a? ) sin( 3 lo^.r ic-'- ■<' dx = o.
Or, la première intégrale aune valeur absolue inférieure à
,ra+"-1 dx
<i tend, par conséquent, vers zéro lorsque n croit sans Limite. Et dans la seconde intégrale
/ a?a-t-'i-i « ( ,r ) sin( S logar)e-A;C </r,
le produil
cp (x) sin( 8 log.r )
a un signe constant ( — ), car cp(.r) change de signe en même temps que sin([j log.c). Donc, évidemment, cette seconde intégrale a une valeur négative dont la valeur absolue croit en même temps que n. Vous voyez que l'équation (A.) implique contradiction, donc T(rt)
ne s'annule pas et- est une fonction entière.
J'ai dû introduire la constante positive k pour parer à une objection qu'on pourrait faire à ce raisonnement. En effet, ce raisonnement serait en défaut si l'intégrale
Jf x*- -« <p (a?) sin( 8 [ogx)e-/cx dx
n'avait pas de sens. Mais je remarque que la valeur absolue de v(x) est inférieure à
(i -f- x)\i -+- x e ? / \i-\- xe * / \i -t- xe
|ti| CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
ci h fortiori à
où / — i e '' f- e ''
Il est clair par là qu'en prenanl /. >> / le-~ intégrales que j';ii (i msidérées oui bien un sens.
J'ajoute qu'évidemment dans les développements
= y*je„X", - r ) = 2 ir„T-'.
e,, esl supérieur à la valeur absolue de c„.
Je me fonderai sur cette remarque pour détruire une autre objection qu'on pourrail faire el qui consiste en ceci. Il est bien \ rai < j 1 1 < ■
/ ./-*-1 cp i ./■ | sin| '} loga? l e~'< ' dx
;i un sens, mais est-il bien sûr <|ue celle intégrale soil égale à
2, f .ra-'c„./'" — i ■ i. c fj In- ./• i e ■■'■■' ,/., .
et, par conséquent, nulle comme je l'ai supposé? Pour écarter le doute, je pose
et j obtiens
/ a?* 1«p| .r i si n i p loga; i e~kx dx
= / x*-lR„ sini p loga:)e-*a rfa-
« ii
= lim / x%~ l R„ sin(P \ogx)e~ kx dx.
< )r. en posant
la valeur absolue de Rw est inférieure à S„. doue la valeur absolue
de
/ ar» ' R„ sini fJ lu-./- 1<— '•< dx «-Ai
est inférieure à Mais on a
/ a:*-1 S„ e~kx dx.
/ .r^-1 S« e~kx dx = I .r*"1 e/x— \—lx —
c'est-à-dire / x* ! S«c /"' efo? = r(aj
Or, on a ce développement convergenl
lim ( / a?«-» S»e-*A"rfar) = o,
et à plus forte raison
lim / a?»-'R/lsin(pioga-)e ** d> = o.
Il me semble qu'après ces explications, ma démonstration est à l'abri de toute objection.
Je \(mis parlerai une autre fois du nombre C; certain résultat rencontré dans mes réflexions sur les fractions continues me donne quelque espoir. Mais je dois d'abord rédiger un Mémoire pour nos Annales, conçu depuis bien longtemps, mais que j'ai laissé tomber dans l'oubli. Et, ensuite, il me faudra terminer mes fractions continues. Je regrette beaucoup que faute de loisir je n'aie pu examiner encore, d'après votre idée, l'intégrale
0 Pex—Q
eïx(ex j)
eax dx.
étanl la réduite d'ordre n de ex. La vie est bien courte pour tout
, pour
ce qu'on voudrait faire. Veuillez nie croire toujours votre bien dévoué.
466 CORRESPONDANCE d'hermite El DE STIELTJES.
