STIELTJES A HERMITE

Toulouse, i3 juin 1889.

Cher Monsieur,

En vous écrivant hier, j'ai oublié de il ire que le fait que V a) ne s'annule jamais, peut se tirer non seulement de la relation

r ( a ) r (1 — a) = t. : -i ti 1 - (/ 1.

mais encore de l'expression de logr(a) par une intégrale définie. On voit que logT(rt) a une valeur finie tant que la partie réelle de a est positive. Mais il ne me semble pointant pas inutile d'avoir une démonstration directe, malheureusement elle est un peu délicate; je crains qu'on ne puisse la simplifier beaucoup. J'ai réfléchi autrefois sur la fonction holomorphe

Q(.r) = / ii' le~u du.

et je voulais savoir si elle admet des zéros ou non. Dans le dernier cas. on pourrait la mettre sous la forme r<i-r), (-j(x) étant encore holomorphe. Mais je viens de m 'apercevoir que l'équation

admet certainement des racines. Ces racines sont imaginaires, du reste, car tant (pie r est réel Q(#) est réel et positif.

Pour le démontrer, je vais supposer que Q(#) = o n'admet pas déracine, vous verrez que cette hypothèse conduit à une absurdité.

L'équation

montre que Q(i) = —■> mais aussi que. dans notre hypothèse, l'équation

n'admet qu'une seule racine x = i. En effet, si l'on avait encore

Q(a ) = - (a différant de 1), e

on en conclurait

Q(« — 1) = o contre l'hypothèse.

Cela étant, je considère la fonction

C'est encore là une fonction holomorphe, et, d'après ce qui précède, les équations

n'auraient aucune solution, Çj(#) serait donc une constante d'après le théorème de M. Picard, niais, cela n'étant pas vrai, il est certain que l'équation Q(.r) = o admet des racines. Si le nombre des racines de

était fini (x = x{, ..., xn)i l'équation

Q(*) = i aurait seulement les n -+- 1 racines

Or, est-il possible, (-J(x) étant une fonction entière, «pie les équations (/(#) = a, §(x) = à aient toutes les deux seulement un nombre fini de solutions? J'en doute, et alors on pourrait conclure que Q(x) = o a un nombre infini de racines ( ' ). Mais il y a là évidemment matière à beaucoup de réflexions.

Je n'ai jamais trouvé à la Bibliothèque le volume des Annales

(') M. Picard (Annales de l'Ecole Normale, i" série, t. IX, 1880) a démontré le théorème suivant :

Si les équations

ont chacune un nombre limité de racines, la fonction entière V(z) se réduit à un polynôme.

\GB CORRESPONDANCE I) IHIOIITi: Kl DE STIELTJES.

qui contienl le Mémoire de M. Picard, mais je ae peux pas rester ainsi sans le connaître.

\ otre très dé\ oué.