Il Eli MITE I STIELTJES

Paris, i ") juin i^sm Mo\ ( 111.1; \ \i l .

Vos recherches sur Q(#) m'intéressent extrêmement et j'ai précédemment suivi avec le plus grand plaisir le> diverses étapes de votre démonstration que la fonction r(<y) n'a poinl de racines.

Mais comment se peut-il que vous n'ayez pas à la bibliothèque le volume des .Annales <|ui contient le théorème de Picard ! Je vais lui demander s'il pourrait vous envoyer un exemplaire de son I ravail .

l'en h cl lez- moi de vous demander votre avis sur cette manière de présenter l'application du théorème de M. Mittag-Leffleraux fonctions doublement périodiques.

La formule générale pour les fonctions f( x) étant

il convient, pour cette application, d'envisager en particulier, en les réunissant dans un même groupe, les pôles qui >e trouvenl à I intérieur il un parallélogramme formé avec les périodes a et b et ,iu somme! arbitraire. Je les nommerai pôles principaux pour abréger, et en désignanl l'un quelconque par p. tous les pôles de f(x) seront représentés par p-\-ma-\-nb. Cela posé, soit v(x) la fonction rationnelle ayant pour uniques discontinuités les pôles principaux, et telle que /(x) — '^<./) soit finie pour toutes les valeurs x ==/>• Il esl clair qu'on pourra écrire"

f(x) = G(r) + V[8U + ma ■+■ nb ) — F//lf,t(a?)],

\:,,i,u étanl un polynôme auxiliaire tel que la somme étendue à tous les entiers m. n représente une série convergente. Je remarquerai que la somme des résidus relatifs aux pôles principaux

LETTRE 2*20. 46g

étanl nulle, on a, en développanl suivanl les puissances descen

(huiles de .'',