SIEUR

En vous informant que la suite et la fin de votre Note sur l'évaluation approchée des intégrales sont dans le numéro des Comptes rendus que je viens de recevoir, je prends la liberté de vous demander une nouvelle Communication pour l'Académie. C'est à mon tour de ne pas réussir à deviner certaines combinaisons analytiques; il ne m'a pas été possible de voir comment vous êtes parvenu à l'expression de la somme f(x) -{-f(i) -(-. . .-\-f(n) où f(n) désigne le nombre des représentations de n par la forme

/ ■-' -M'-'. Mais votre résultat ni intéresse exl reniement el mé semble si remarquable que, dans l'intention d'être agréable aux amis de l'Arithmétique, je viens vous prier de publier dans les Comptes rendus la Note extraite de votre dernière lettre, que j'ai transcrite sur une feuille détachée afin < j i m • vous puissiez \ faire les changements qui vous conviendront. Et, puisque les mêmes questions qous plaisent également, je prends la liberté de vous communiquer mu- la fonction que vous appelez g'(x), el qui esl désignée par '^(n) dans les F un damenta, une transformation semblable à celle qui concerne E(-) — E(-]-f-E(-) — . .. el permettant de calculer rapidement la somme

•lM 'il) = ç(l)-|-(f(2)+...-H Epi n I,

c'est-à-dire

, / n -+- i \ „ „ / n — 3 \ . / n — "> \ • (») = B(-ï-)+ïK(-3-)+5B(-7j-;-H....

J'introduis, dans ce but, en outre des fonctions E('.r) et E( ' c I El ' >x) — 2E(#), la fonction suivante, à savoir :

Elle donne d'abord, en effet, cette expression : • <»)= Un-±±)+EJ^)+E3

où nous voyez que, dans la première ligne, le nombre des termes

n — i , , in- -i n -+- 3 T ,

est -et, dans la seconde, 1 entier compris dans — ; — Je le

réduis à l'entier contenu dans\//i en distinguant deux cas, suivant qu'il s'agit de la somme

p(3)-+-?(7)-4-?(ii)h-...+ T(4»-i)

ou bien

cp( i)-t-<p(5)-t-o(/i) -+-... -H «p (4 n-\ri).

C'est la première qui donne la formule la plus simple ; j'obtiens.

en effet, pour cette somme, la quantité suivante :

Vous avez, Monsieur, très heureusement exprimé par la formule

dont l'idée ne m'était jamais venue, le nombre des représentations

de 11 par une somme de quatre carres, et je mettrai à profit votre expression dans mes recherches. La fonction sommaloire m'a conduit à introduire la quantité ainsi définie (') :

et je trouve en faisant pour abréger <l (n) = [3 -(-( — •)"]? ( " les équations suivantes :

..,,(=) ^(?)+]îi(?

+ b,/îUe,/?Ue

mais bien des calculs me restent encore à faire pour arriver à transformer la somme <i(i) + ^(2) +• • • +~ 'K'O de la même manière que <?(3) + <f (;) 4-. . .+ cp(4n — i).

Je ne puis douter que vous n'arriviez à démontrer mes formules pour la somme f(i) -h /'(a) -f-, . .-\-f(n) en suivant la voie que vous m'avez indiquée. Beaucoup d'autres doivent s'y ajouter, et je m'occupe de les réunir, mais, chemin faisant, je suis revenu à la fonction F(/i) exprimant le nombre des représentations de n par une somme de trois carrés. On a alors

F(i) + F(2)-H...-HF(n) = 2E(v/«)-f-Z<p(c)[i -f- E(v/« — c)], ( ' ) Voir la note de la page 44-

CORRESPONDANCE IUIEUMITE ET DE STIELTJES.

en supposant que cp (c) soil le nombre des représentations de c par

une somme de deux carrés el qu'on prenne c = i, 2, 3 //.

C'esl sous une forme toute pareille que peul se mettre la fonction sommatoire du nombre des décompositions en cinq carrés.

Je souhaite vivement. Monsieur, que les devoirs d'enseignement auquel vous êtes appelé vous laissent assez de loisirs pour songer à l'Arithmétique. Permettez-moi de vous demander, lorsque vous me retournerez votre Note ci-jointe, si l'Ecole Polytechnique de Délit est ù la fois civile el militaire, comme notre Ecole Poljr technique, quelle est la durée des études et quelles sont les matières de l'enseignement. En vous remercianl de vôtre intérêt pour ma >mié qui. suis être parfaite, ne met cependanl pas obstacle à mon travail, je vous prie, Monsieur, de recevoir la nouvelle assurance de ma haute estime et de mes sentiments bien sincèremenl dévoués.