STIELTJES A HERMITE
La Haye, 17 octobre 1 Sv ; Monsieur,
Il semble bien «[im la manière que j'ai suivie pour arrivera votre 1 ransformal ion de
diffère de celle que vous avez employée. Je forme le Tableau
La somme de ions les nombres de ce Tableau sera égalée .e si l'on a eu soin de changer 1rs nombres de la première, troisième el cinquième ligne horizontale en -\ i, ceux de ta deuxième, < ) 1 1 ;i trième el sixième ligne horizon lu le en i . I >e pins, si l'on désigne
par c(/ ) - E( — j le nombre des nombres impairs i . 3, 5, - . . . .
qui ne surpassenl pas t (iétanl entier ou non), on voil facilement que la première ligne verticale contient e(--) =E(— ] nbres,
la seconde ligne verticale en contient e(— ) =E( — - — )i la troi
sième e ( ^ ) — E( . )* etc. Soit encore f(x) la somme des
x premiers termes de cette série
en sorte que la somme des nombres de la y/,n" ligne verticale est
Considérons maintenant votre nombre A :
donc
Efe)^
c'est-à-dire la Xième ligne horizontale contient), nombres au moins, laÀ+ iièrae en contient A au plus. Maintenant on pourra obtenir la somme de tous les nombres de (A) (après le changement indiqué en ±1) en prenant d'abord les À premières lignes horizontales; cela donne
4o CORRESPONDANCE D HERHITE ET DE ST1ELTJES.
puis on prendra les X premières lignes verticales : cela donne
( )n aura maintenant compté deux, fois les nombres qui sonl écrits dans un carré avec If côté '/. ; il faut encore retrancher leur somme qui esl égale à 7.cp(X); donc
J/=S — S,- Xo(X).
Cela no diffère pas essentiellement de la formule que vous avez obtenue.
Le même raisonnement s applique pour transformer l'expression
«(îH(s)-b(S)-e(S
avec cette seule différence que v(x) sera maintenant la somme des x premiers termes de la série
\ ous voyez donc bien. Monsieur, combien fut simple l'application de votre transformation à ce nouvel exemple
"(tK«(ï)-«G)-«(7>
dès que j'avais trouvé la démonstration que vous venez de lire de votre formule.
Je suis trop pressé, en ce moment, pour ajouter encore d'autres développements. L'Ecole Polytechnique de Delft est une école civile; tous nos ingénieurs civils, des mines, etc., sortent de cette école. Dans les deux premières années, les élèves ont à suivre des cours d' analyse, de Géométrie analytique et descriptive. La Mécanique fait partie du cours des deux dernières années, le cours complel comprenant quatre années. En arrivant, les élèves possèdenl les éléments de la Géométrie descriptive, mais ils n'ont point de notion encore de la Géométrie analytique et de l'Analyse.
Je ne trouve rien à changer à la Note que vous avez bien voulu transcrire, et qui pourra paraître dans les Comptes rendus si cela vous parait utile. \ euillez, encore cette fois, recevoir les remercîments de \ otre très dévoué.
P. S. — Veuille/, bien adresser mes Lettres encore ;'i Leyde;
ordinairement elles nie parviendront ;nnsi | » 1 1 1 s tôt. Vous aurez
bien remarqué que je n'avais point encore reçu votre dernière lettre quand je \<uis adressais ma Lettre du [5 octobre.
