Il ERMITE A STIELTJES

Paris, ni octobre 1 883 .

MONSIEUK ,

La démonstration que vous venez de me communiquer de ma transformation de la somme

m'a fait le plus grand plaisir, et mon intention, qui, j'espère, ne vous contrariera pas, sera d'insérer votre lettre du 17 octobre dans mon travail, en disant que vous me l'avez adressée en réponse à la communication de l'énoncé de ma proposition. Les méthodes en Arithmétique sont loin de se présenter aussi variées et aussi nombreuses qu'en Analyse, et je ne puis m'empêcher de croire qu'il sera utile de donner pour parvenir aux mêmes conclusions, deux procédés très différents, surtout Lorsque Le vôtre s'applique à des questions que, par le mien, je ne puis aborder. En effet, Monsieur, je suis moins que vous, vir arithmeticus, comme dit Jacobi : je ne fais que recueillir chemin faisant, dans le champ des fonctions elliptiques, quelques résultats faisant suite au n" 40, p. io3 des Fondainenta, et mon travail s'intitulera par conséquent : Sur quelques nouvelles applications à V Arithmétique de la théorie des fonctions elliptiques. Je compléterai, si vous voulez bien, en ce qui concerne les nombres l\n 4- 1 , ce que je vous ai précédemment dit sur la somme des valeurs de la fonction ©(5?) où o[x) est la somme des diviseurs impairs de x, en considérant les nombres in -+- 3.

Soit

je distinguerai deux cas suivant que 4^-!-5 est différent d'un

I< CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

carré, ou bien égal à un carré. < )n a dans le premier, La formule

dans le second cas, le terme algébrique se modifie, el j'obtiens alors

.ii. v , -, ... -r | j /, i ) - -^

Mais \<>> devoirs à I École Polytechnique \<mi réclamer toul votre temps e't, comme je le fais moi-même, vous allez, Monsieur, renoncer aux recherches pour ue songer qu'à mis leçons. Je vois que l'Ecole de Delfl ressemble bien pins à notre École Centrale <|n à I Ecole Polytechnique, pour son objet, comme pour I enseignement (|ni \ est donné, el c'esl en vous remercianl des détails que \nih avez eu la bonté de me donner pour satisfaire à ma curiosité que je vous renouvelle l'expression de ma pins haute estime el de mes sentiments bien dévoués.