ff ERMITE A STIELTJES

Paris, 2 '| octobre i883 .

sur i; .

Les théorèmes que vous venez de me communiquer sur la somme des valeurs il»' la fonction /'• n i pour les valeurs de // qui sonl i ou = 5 mod8, m'onl pain >i intéressants que je n'ai pu m'empêcher de donner à l'Académie les résultats auxquels vous »dcs parvenu, ainsi (pic ceux qui concernenl la fonction o\ ri). \ ous ne serez point mécontent, je l'espère, de trouver dans le prochain numéro des Comptes rendus les énoncés de vos théorèmes contenus dans votre lettre du 20 octobre, en même temps que votre proposition sur la somme des nombres de représentation de n par la forme x- - ',)'"• " me paraîl hors de doute que vos méthodes. qui permettenl de démontrer les résultats tirés des formules de la théorie des fonctions elliptiques, vonl plus loin et donnent des résultats entièrement nouveaux. Les deux points de vue auront donc, à La fois, un domaine commun et des domaines distincts, par

exemple, en ce qui concerne la théorie des formes quadratiques de déterminants négatifs. En particulier, pour les déterminants — D, lorsque I) 3 mod8, la théorie des fonctions elliptiques conduit à introduire la fonction numérique qui, à L'égard d'un nombre »~3mod {, représente l'excès du nombre de ses diviseurs 1 sur le nombre des diviseurs 3 mod \ sous la condition que ces diviseurs, d'une espèce et de l'autre, soienl inférieurs à ^ n. l'osant donc

où a? représente tous les diviseurs de n moindres que sa racine barrée, et désignant par F(N) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — N, on a [tour La somme

F(3)~F(ii)-h...--F(n) où n = 3 mod 8, la valeur

4»(3)-+-4<(ii)-H...-t-«l;(n)

+ a2^(*)E(ii/iT=r*)-aV4'(OE(i^^:=rï+i)-

Il faut prendre, dans les sommes, pour k et /, les valeurs : k= 3, 1 1 71; /= 7, ià, ...,/? — 4 ct? relativement à la fonction '}/(«) je trouve ces formules

Pour ce qui concerne la somme des diviseurs d'un entier impair, j'entrevois dès à présent que les formules elliptiques donnent les théorèmes que vous avez découverts, où l'on distingue entre les diverses formes de n, par rapport au module 8. Mais déjà surviennent des devoirs qui m'obligent d'aller à la Sorbonne, faire des examens de baccalauréat, et il faut m'arracher à mes réflexions et à mes calculs.

Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma vive sympathie et de mes sentiments de haute estime.

Je crains de vous avoir inexactement donné la définition dune

',.', CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIF.LTJES.

des fonctions que je aomme E2(#) el E3(# : permettez-moi de vous indiquer les expressions exactes qui >«>nt

E2(a7) - \\ E«(ar) - K(.n] = |E(a?)E(a7H i ( '.e^ expressions me servent dans l'étude de la fonction cpi // 1 1 ' i.