STIELTJES A HERMITE

Leyde, j* octobre iS83.

MONSIEI 11,

Certainement je ne suis point mécontent de ce que nous avez communiqué à L'Académie quelques formules que j'ai rencontrées enméditanl sur les résultats que vous avez bien voulu me communiquer. Mais, comme je l'ai déjà dit, tout cela est facile; toutefois, cela met sur la \oie de déduire d'autres formules plus difficiles.

J'ai consulté de nouveau vos beaux Mémoires dans les Tomes ^ Il et l\ i 2e série) du Journal de Mathématiques, et je crois maintenant être sur de pouvoir démontrer à ma manière arithmétique les formules de M. Rronecker et d'autres qui résultent de la théorie des fonctions elliptiques. Toutefois, dans mes recherches. je fais usage de votre manière d'introduire la notion de classe, c'est-à-dire, elle est remplacée parcelle du nombre des formes d'un système complet de formes réduites. Pour moi, je n'ai point de doute que ma méthode n'ait pas une grande analogie (ou peut-être ne diffère pas essentiellement) de celle que M. Liouville a suivie dans ses recherches. Mais, pour le moment, je n'ai pu consulter encore que les deux volumes précités du Journal de Mathématiques, et je ne sais pas encore si M. Liouville n'a pas exposé sa méthode dans un autre endroit. Vous m'obligerez infiniment en

I La Note aux Comptes rendus mentionnée au début de cette lettre est insérée dans le numéro du 22 octobre et intitulée : Sur quelques théorèmes arithmétiques (extrait d'une lettre adressée à Hermite). Cette i\ote a trois pages donl la troisième contient, avec de légers changements de rédaction, la seconde moitié de la lettre 20 du 10 octobre. Les deux premières pages devaient se trouver dans la lettre du 20 octobre, qui manque.

L'expression de 1 < .c) donnée à la fin du post-scriptum diffère de celle donnée dans la lettre 22.

me renseignant sur ce point. En ce moment, j'ai en effel reconnu ta source de plusieurs des ihéorèmes de M. Liouville. Mais, en tout |as, pour pouvoir dire quelque chose de plus certain surcel objet, le devrai Caire une étude sérieuse des résultats de \l. Liouville dans leur ensemble, ce que je n'ai pu faire encore ei ce que je ne pourrai faire dans les premiers mois.

Je veux ajouter quelques remarques sur vos dernières formules. En premier lieu, n 3 modH. Alors

F(3)-4-F(ii)+...+ F(») = <K3)-t-«l*(u)-+-..i-+-<K»)

+ ^^(0^(1/^^ + !) (1 = 7, '5, .... n- i ,: clans votre lettre, vous avez écrit, par une inadvertance

Cette formule est équivalente à celle-ci :

Y(n ) — <b(n) -+- :i<\i( n — 4- l2) -+- '-*<];( « - 4.2.2) -+- %ty(n — 4-32) -t-. . ..

en ce sens que l'on déduit immédiatement l'une de ces formules de l'autre. Mais cette dernière formule se trouve, sous une forme un peu différente, dans la lettre que M. Liouville vous a adressée (t. VII du Journal, p. 43, 44)- H dit : « Or, je trouve que ce nombre (des solutions m = i2 -\- i'2 -+• î"2 où i, /', î" sont impairs et positifs) s'exprime aussi au moyen de p'(/i)[ = <];(/*)], par

p'(m) -i- '2p'(m — 4- l2 ) -+■ 2p'(/ra — 4 -22) -+- • • • • »

M. Liouville dit lui-même, du reste, que cette formule se tire aussi de vos formules.

Quant à vos formules pour les sommes

<I»(3)±<1/(7)-i-«Kii)±...±»K4N-h3), j'ai reconnu qu'on peut les déduire directement de la définition même de la fonction fy. Il y a encore d'autres formules du même genre, par exemple,

J6 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

( )n doit avoir des formules analogues pour la fonction

rf-l

tandis que

i}/( re ) = 2 (— j • .

par exemple,

mais tout cela esl très facile.

\ mis êtes tellement au courant dans cet ordre de recherches que j'ose vous prier (sans que cria doive vous coûter de la peine) de vouloir bien tn'indiquer si les formules de M. Rronecker onl été l'objel d'autres recherches, que je ne connais pas encore. Mais il n'\ ,i pas de bâte : dans ces premiers mois je ne puis songer à des études sérieuses.

Je vous prie Monsieur, d'agréer l'expression de mon respecl el de mon entier dévouement.